极限的概念与性质

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1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二二 、函数的极限、函数的极限三三 、函数的极限的性质、函数的极限的性质一、数列的极限一、数列的极限第二节第二节极限的概念与性质极限的概念与性质目录 上页 下页 返回 结束 自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础。的客观基础。引言引言目录 上页 下页 返回 结束 R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A

2、正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率边形得到圆周率 的近似值为的近似值为3.1416割圆术割圆术割圆术就是极限思想在几何上的应用割圆术就是极限思想在几何上的应用目录 上页 下页 返回 结束 微积分是一门以微积分是一门以变量变量为研究对象、为研究对象、应用极限方法研究各类应用极限方法研究各类变化率问题变化率问题应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到以以极限方法极限方法作为研究工具的数学学科：作为研究工具的数学学科：曲线的切

3、线问题曲线的切线问题，微小量无穷积累微小量无穷积累的问题，的问题，和几何学中和几何学中就产生了就产生了微分学微分学；就产生了就产生了积分学积分学。目录 上页 下页 返回 结束 一、数列极限的定义一、数列极限的定义按照一定规律排列的一列数按照一定规律排列的一列数,21nxxx,21,81,41,21:21nn,1,43,32,21:1nnnn,) 1( , 1, 1, 1, 1:) 1(nn ,3, 9, 6, 3:3nn., 2 , 1),(nnfxn数列数列 可视为定义在自然数集上的函数：可视为定义在自然数集上的函数：nx称为一个数列。称为一个数列。nx称为数列通项，称为数列通项，数列简记为

4、数列简记为 。nx目录 上页 下页 返回 结束 nx趋向于某个确定的数趋向于某个确定的数xyO.,21,81,41,21:21nn,) 1( , 1, 1, 1, 1:) 1(nn不趋向于某个确定的数不趋向于某个确定的数nx目录 上页 下页 返回 结束 定义：定义：.limaxnn设数列,nx极限存在的数列称为收敛数列收敛数列。极限不存在的数列称为发散数列发散数列。如果通项 nx记作)(,naxn当项数 无限增大时，n则称a的极限。nx为数列或, a无限趋近于某个常数目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnx

5、nn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趋势不定收 敛发 散目录 上页 下页 返回 结束 若数列nx及常数 a 有下列关系 :,0,N正整数当 n N 时, 总有记作axan)(Nn 即),(aUxn)(Nn axnnlim或)(naxnaxn则称该数列nx的极限为 a ,几何解释 :aaa)(1Nx2Nx只有有限项(至多N项)在邻域),(aU之外。数学定义：数学定义： 英文注音 epsilon 中文注音 伊普西龙 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 已知,) 1(nnxnn证明数列nx的极限为1. 证明证明: 1nx1) 1(nn

6、nn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此 , 取, 1N则当Nn 时, 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 已知,) 1() 1(2nxnn证明.0limnnx证证:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, )21,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11N则当Nn 时, 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2) 1(10nnx. 111. N 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明说明: 取11N2. 利用不等式的放缩.目录 上页 下页 返回 结束

7、 例例3. 设,1q证明等比数列,112nqqq证证:0nx01nq, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,1nq即,lnln) 1(qn亦即因此 , 取qNlnln1, 则当 n N 时, 就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为0 .1nq目录 上页 下页 返回 结束 例例4. .证明：证明：,limAann若.lim21Anaaann则记记 ,121AaAaAaMN易知易知 . 0limnMn当当 2Nn 时，时， .2nM,max21NNN 取取 则当则当 Nn 时，有时，有 ,limAann由于由于, 0故故时，时， 当当1Nn ,2 Aan,1N正整数正整数于是于是,2N

8、正整数正整数 目录 上页 下页 返回 结束 21nNnnMAnaaan21nAaAaAaAaAanNN)()(12111nAaAanAaAaAanNN|12111.lim21Anaaann所以所以.22刘徽刘徽(约约225 295年年)我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的重 差对九章算术中的方法和公式作了全面的评 注, 指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 .他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 “ 割之弥细割之弥细 , 所失弥小所失弥小, 割之又割割之又割 , 以至于不可割以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣 ”它包含了“用已知逼近未知用已知

9、逼近未知 , 用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要极限思想 . 的方法 :柯西柯西(1789 1857)法国数学家, 他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程, 无穷小分析概论, 微积分在几何上的应用 等,有思想有创建, 响广泛而深远 .对数学的影他是经典分析的奠人之一, 他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 1、自变量趋于有限值时函数的极限、自变量趋于有限值时函数的极限, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0