第1讲(行列式的定义)

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1、2010年2月联系电话：联系电话：1373683121313736831213，631213 631213 办公地点：办公地点：8 8号楼号楼312312主讲教师：刘海东主讲教师：刘海东讲课学时：讲课学时：4848学时学时关于作业：关于作业：每周交一次，按学号单、双号交；即第一每周交一次，按学号单、双号交；即第一周单号交，第二周双号交，依此类推周单号交，第二周双号交，依此类推. .1 1、线性代数线性代数 苏德矿苏德矿 高等教育出版社高等教育出版社 3 3、线性代数思想方法与学习指导线性代数思想方法与学习指导 赵晶赵晶 天津大学出版社天津大学出版社2 2、线性代数线性代数 居余马居余马 清华大

2、学出版社清华大学出版社 参考书：参考书：线性线性代数代数行列式行列式矩矩 阵阵线性线性方程组方程组矩阵矩阵的特的特征值征值 二二 次次 型型 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 n n 阶行列式阶行列式 行列式的性质行列式的性质 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 克莱姆法则克莱姆法则1.1 二阶、三阶二阶、三阶 行列式行列式一、二阶行列式一、二阶行列式用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2时，时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211

3、222112112112aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定. .11122122(4)aaaa即即.2112221122211211aaaaaaaa 为了便于记这个公式，我们用记号为了便于记这个公式，我们用记号 表示表示11221221a aa a ， 称为称为二阶行列式二阶行列式. .对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa 1221.a a 11a12a22a2

4、1a .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD ,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .2211112babaD 则二元线性方程组则二元线性方程组,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.2221121122111122aaaababaDDx 的解为的解为 .,22221211212111bxaxabxaxa）其中其中0( D例例1 1 求解二元线性方程组求解二元线性方程组1212321221xxxx

5、 例例2 2 设设 问：问： 22,1D (1) (1) 当当 为何值时，为何值时，(2) (2) 当当 为何值时，为何值时， 0.D 0.D 二、三阶行列式二、三阶行列式定义定义112233122331132132112332122133132231,a a aa a aa a aa a aa a aa a a333231232221131211aaaaaaaaa三阶行列式三阶行列式. .333231232221131211aaaaaaaaaD 列列标标行标行标表示代数和表示代数和333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 对角线法则对角线

6、法则注意：注意：红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素 的乘积冠以负号的乘积冠以负号说明说明: 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 三阶行列式的计算三阶行列式的计算.312213332112322311aaaaaaaaa 322113312312332211aaaaaaaaa D沙路法沙路法333231232221131211aaaaaaaaaD 323122211211aaaaaa 124221342D 例例3 3 计算三阶行列式计算三阶行

7、列式211123049xx 例例4 4 求解方程求解方程例例6 6 的充分必要条件是什么的充分必要条件是什么? ?例例5 5 解线性方程组解线性方程组123123123222310 xxxxxxxxx 10100411aa 1.2 n 阶行列式阶行列式一、排列与逆序一、排列与逆序定义定义1 1 由由n n个不同的数个不同的数1 1、2 2、3 3、n n组成的任一有序组成的任一有序数组数组 ，称为一个，称为一个n n级全排列，简称级全排列，简称n n级排列级排列. . n n级排列的总数为级排列的总数为n!n!个个定义定义2 2 在一个在一个n n级排列级排列 中，如果有某个较大的数中，如果有

8、某个较大的数 排在较小的数排在较小的数 的前面，就称的前面，就称 与与 构成了一个构成了一个逆序逆序. . niii21tisitisiniii21例例 排列中，排列中， 3 2 5 1 43 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序逆序逆序逆序逆序分析分析定义定义3 3一个一个n n级排列级排列 中逆序的总数，称为中逆序的总数，称为此排列的此排列的逆序数逆序数，记为，记为 或或niii21)(21niiiN1 2().ni ii 计算逆序数的方法计算逆序数的方法逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列; ;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列. . 分别计算

9、出排列中每个元素前面比它大的数码分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数，即算出排列中每个元素的逆序数，这些元素个数，即算出排列中每个元素的逆序数，这些元素的逆序数之和即为所求排列的逆序数的逆序数之和即为所求排列的逆序数. .定义定义4 4 例例1 1：求排列：求排列 4 2 5 3 1 4 2 5 3 1 的逆序数的逆序数. .例例2 2：计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. .（1 1） （2 2） 12321n nn（3 3） 21 21 2 22 3 231kkkkkk定义定义5 5在一个排列中，如果仅将其中的两个数在一个排列中，如果仅

10、将其中的两个数 与与对调，得到另一个排列，这样的变换称为一个对换，记对调，得到另一个排列，这样的变换称为一个对换，记为为 siti( , ).tsi i定理定理1 1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变. .定理定理2 2 n n个数码个数码(n1)(n1)共有共有n!n!个个n n级排列，其中奇偶级排列，其中奇偶排列各占一半排列各占一半. . 二、二、n n 阶行列式阶行列式11122122aaDaa 11221221a aa a 二阶行列式二阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 112233122331132132a a a

11、a a aa a a 13223111 23321221 33a a aa a aa a a 三阶行列式三阶行列式分析分析: :（1 1）二阶行列式共有）二阶行列式共有 项，即项，即 项项22!（2 2）每项都是位于不同行不同列的两（三）个）每项都是位于不同行不同列的两（三）个 元素的乘积元素的乘积（3 3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的两（三）个元素的下标排列的两（三）个元素的下标排列 三阶行列式共有三阶行列式共有 项，即项，即 项项63!例例1221a a列标排列的逆序数为奇列标排列的逆序数为奇322113aaa列标排列的逆序数为偶列标排列的

12、逆序数为偶112332a a a列标排列的逆序数为奇列标排列的逆序数为奇 负号负号 正号正号 负号负号定义定义6 6称为称为 n n 阶行列式阶行列式. .它是它是n!n!项的代数和项的代数和, ,每一项是取自不每一项是取自不同行和不同列的同行和不同列的 n n 个元素的乘积个元素的乘积, ,各项的符号是：各项的符号是：当当这一项中各元素的行指标按自然数顺序排列后这一项中各元素的行指标按自然数顺序排列后, ,如果如果列指标排列为偶排列列指标排列为偶排列, ,取正号取正号; ;为奇排列为奇排列, ,取负号取负号. .由由 个数组成的记号个数组成的记号2n111212122212nnnnnnaaa

13、aaaaaa 简记简记() .ijijoerD t aaija，数，数 称为行列式的称为行列式的元素元素. .说明说明:1212()12( 1)nnNj jjjjnjDaaa 即即：一阶行列式一阶行列式|a|=a|a|=a，不要与绝对值搞混，不要与绝对值搞混. .例例1 1利用定义计算行列式利用定义计算行列式000000abc1000500203000040112122313233000aaaaaa12,1211,1000nnnnnnnnaaaaaa 例例2 2利用定义计算行列式利用定义计算行列式000100200300400010000200003000040100002000034000(

14、1)(1)如果一个行列式有一行（或一列）的元素全为零，如果一个行列式有一行（或一列）的元素全为零，则此行列式的值必为零则此行列式的值必为零. . (2)(2)三角形行列式和对角行列式的值，均等于主对角三角形行列式和对角行列式的值，均等于主对角线上各元素的乘积线上各元素的乘积. .定理定理3 3 n n 阶行列式阶行列式 的一般项可记为的一般项可记为ija阶阶排排列列。均均是是与与其其中中njjjiiinn2121 1 21 21 12 21nnn nN i iiN j jji ji ji jaaa 补充习题（选做）：补充习题（选做）：1 1、求排列、求排列 的逆序数的逆序数. .)12(531)2(642 nn2 2、如果排列、如果排列 的逆序数为的逆序数为 ，问排列，问排列nnxxxx121 k121xxxxnn 的逆序数是多少？的逆序数是多少？作业：作业：P35-36P35-361(3)(6) 2(1)(4) 5 10 12(2)