线性代数B n行列式的性质
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1、 使用使用n n阶行列式的定义阶行列式的定义计算计算n n阶行列式阶行列式非常繁琐。为了非常繁琐。为了简化简化n n阶行列式的计算，可以阶行列式的计算，可以利用行列式的行或列的变换利用行列式的行或列的变换。例如，例如，如果能将行列式都能等价地转化为三角形行列式就如果能将行列式都能等价地转化为三角形行列式就好计算了。好计算了。 为了解决行列式的计算问题，应先对为了解决行列式的计算问题，应先对行列式的性质行列式的性质进进行研究，本节将学习行列式的性质。行研究，本节将学习行列式的性质。课本课本1 .3 行列式的性质行列式的性质一、行列式的性质二、行列式的计算v性质性质1 行列式行列式D与它的与它的转
2、置行列式转置行列式DT相等相等 v行列式的转置行列式的转置 将行列式将行列式D的的行行变为变为相同序号的列相同序号的列后得到的行列式后得到的行列式,称为称为D的转置行列式的转置行列式 记为记为DT 或者或者 D a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann D= = a11a12a1n a21a22a2n an1an2ann 则则 DT= =即即一、一、行列式的性质行列式的性质1 .3 行列式的性质行列式的性质证明证明 detijDa= =记记的的转转置置行行列列式式,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD= = ,1,2,ijjibai jn=即即按定义按定
3、义 1212121nnt p ppTppnpDbbb= 又因行列式又因行列式DD可表示为可表示为 1212121.nnt p ppppp nDaaa= 故故.TDD = =证毕证毕v性质性质1 行列式行列式D与它的与它的转置行列式转置行列式DT相等相等 1212121.nnt p ppppp naaa= 由此性质可知由此性质可知 行列式中行列式中的的行与列行与列具有同等的地位具有同等的地位 行行列式的性质凡是列式的性质凡是对行成立的对行成立的对对列也同样成立列也同样成立 反之亦然反之亦然 v性质性质2 交换交换行列式的行列式的两行两行(列列) 行列式行列式改变符号改变符号 这是因为这是因为 把
4、这两行把这两行(列列)互换互换 有有D=D 故故D= =0 推论推论1 如果行列式有如果行列式有两行两行(列列)完全相同完全相同 则此行列式则此行列式等于等于零零 v性质性质3 用用数数k乘乘行列式的行列式的某一行某一行(列列)中中所有的元素所有的元素,等于用等于用数数k乘此行列式乘此行列式 即即证明证明 因为行列式因为行列式 的一般项为的一般项为 证毕。证毕。v性质性质3 用用数数k乘乘行列式的行列式的某一行某一行(列列)中中所有的元素所有的元素,等于用等于用数数k乘此行列式。乘此行列式。1 .3 行列式的性质行列式的性质 推论推论2 行列式中某一行行列式中某一行(列列)的所有元素的的所有元
5、素的公因子公因子可可以以提提到行列到行列式符号的外面式符号的外面 例如：例如：12121144 28(2 1)84161412=1 .3 行列式的性质行列式的性质注：第注：第i行（列）乘以数行（列）乘以数k记为记为 .l推论推论3 行列式中有行列式中有两行两行(列列)元素成比例元素成比例 证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211= =. 0= =则行列式等于则行列式等于零。零。1 .3 行列式的性质行列式的性质v性质性质4 若行列式的若行列式的某一行某一行(列列)的元素的元素
6、都是两个数之和都是两个数之和 则行列式等于两个行列式之和则行列式等于两个行列式之和 例如例如v性质引申性质引申:若行列式的若行列式的某一行某一行(列列)的元素的元素都是都是n个数之和个数之和 则行列式等于则行列式等于n个行列式之和个行列式之和 注：上述结果可推广到注：上述结果可推广到有限个有限个数和数和的情形的情形. .njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111v性质性质5 把行列式的某一把行列式的某一行行(列列)的所有元素的所有元素乘以乘以数数k，然后然后加加到另一行到另一行 (列列)对应位置的元素上去对应位置的元素上去 行列式的值行列式的值不变不变 11111
7、12122221()()()ijjnijjjnninjnjnjaakaaaaakaaaaakaaa = = k例如例如证明思路：证明思路：由性质由性质4 4，右，右式可表达为两个行列式式可表达为两个行列式的和，其中一个行列式的和，其中一个行列式与原行列式相同，与原行列式相同，另一另一个行列式的两列成比例个行列式的两列成比例，根据性质，根据性质4 4的推论的推论3 3，故结论得证故结论得证. .& 行列式行列式D与它的与它的转置行列式转置行列式DT相等相等 & 某一行某一行(列列) 的的公因子公因子可提可提到行列式符号的外面到行列式符号的外面 交换交换行列式的行列式的两行两行(列列) 行列式行列
8、式变号变号 l 行列式中有行列式中有两行两行(列列)完全相同完全相同 则此行列式则此行列式等于等于零零 &数数k乘乘 行列式行列式 等于等于数数k乘乘此行列式的此行列式的某一行某一行(列列) l 行列式中有行列式中有两行两行(列列)元素成比例元素成比例 则行列式则行列式等于等于零零.& 若行列式的若行列式的某一行某一行(列列)的元素的元素都是两个数之和都是两个数之和 则行列式等于两个行列式之和则行列式等于两个行列式之和 & 把行列式的某一行把行列式的某一行(列列)的的倍数倍数，加加到另一行到另一行 (列列)对对应的元素上去应的元素上去 行列式行列式不变不变 行列式性质归纳行列式性质归纳 在计算
