第3节 行列式按行列展开

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1、,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa第三节第三节 行列式按行列展开行列式按行列展开可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。1、行列式按某一行（列）展开行列式按某一行（列）展开 问题：一个问题：一个n 阶行列式是否可以转化为

2、若干个阶行列式是否可以转化为若干个 n1 阶阶行列式来计算？行列式来计算？在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij ，记ijjiijMN1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MN.23M 定义定义44434241343332312423

3、222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MN12M 33323123222113121144aaaaaaaaaM 444444441MMN注：注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。代数余子式。 三阶行列式三阶行列式 D D等于它的任一行（列）的各元等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即素与其对应的代数余子式乘积之和，即第一张第一张幻灯片幻灯片D=3,2, 13,2, 1ji或简写为131312121111NaN

4、aNaD232322222121NaNaNaD333332323131NaNaNaD313121211111NaNaNa323222221212NaNaNa333323231313NaNaNaijijiNa31ijijjNa31引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 例

5、如例如ijijNaD 证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,ijannnnnaaaaaaaD21222211100 即有即有.1111MaD 又又1111111MN,11M 从而从而.1111NaD 在证一般情形在证一般情形, 此时此时nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 ,1,2,1行对调行对调第第行行第第行行行依次与第行依次与第的第的第把把 iiiD得得 nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1, 1, 11 , 11001 ijaija,1,2,1对对调调列列第第列列第第列列列列依依次次与与第第的的第第再再把把 jjjD得得 nnjnnjnijijiijjiaa

6、aaaaaD1, 11, 1, 1110011 ija nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 12001 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 1001 ijaijannnjnijnjaaaaaaaD1111100 中的余子式中的余子式.ijM在在余余子子式式仍仍然然是是中中的的在在行行列列式式元元素素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1,11,1,100 ijaija故得故得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1001 .1ijijjiMa 于是有于是有nnjnnjnijijiija

7、aaaaaa1, 11, 1, 100 ,ijijMa ijaija定理定理3 3 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiNaNaNaD2211 ni, 2 , 1 证证nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 njnjjjjjNaNaNaD2211nj,2,1nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiNaNaNa2211 ni, 2 , 1

8、 推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即., 02211jiNaNaNajninjiji证证行展开，有行展开，有按第按第把行列式把行列式jaDij)det( ., 02211jiNaNaNanjnijiji,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaNaNa,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaNaNa可得可得换成换成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时当当ji ).(, 02211jiNaN

9、aNajninjiji同理同理).(, 02211jiNaNaNanjnijiji相同相同该行列式中有两行对应元素相等该行列式中有两行对应元素相等.关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质;,0,1jijiDDNaijnkkjki当当;,0,1jijiDDNaijnkjkik当当 .,0,1jijiij当当，当当其中其中#25. 幻灯片幻灯片 25综上，得公式综上，得公式inknikikNaNaNa2211 ），（当，（当）（当（当ikikD0 ,njnljljlNaNaNa2211 ），（当，（当）（当（当jljlD0 ,在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定在计算数字行

10、列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个简化计算，因为把一个n阶行列式换成阶行列式换成n个（个（n1）阶行列阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。在理论上是重要的。利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含一行（列）化为