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1、 统计例子统计例子例例1 如果要求一个打火机的可靠性达到如果要求一个打火机的可靠性达到90%，而它是由，而它是由10个零件组成的，那么，个零件组成的，那么，每个零件的可靠性应该达到多少？每个零件的可靠性应该达到多少？解：解：相当于问？相当于问？10=90%，取对数计算结，取对数计算结果为果为0.9910=90%，即只有每个零部件的，即只有每个零部件的可靠性达到可靠性达到99%时，由它们组装的打火时，由它们组装的打火机的可靠性才能达到机的可靠性才能达到90%.例例2 如果要求一台笔记本电脑的可靠性如果要求一台笔记本电脑的可靠性达到达到90%，而它是由，而它是由1000个零件组成的，个零件组成的，
2、那么每个零件的可靠性应该达到多少？那么每个零件的可靠性应该达到多少？解：解：和例和例1相类似，即相当于问相类似，即相当于问 ?1000=0.9，计算的结果是只有每个零件的可靠性达计算的结果是只有每个零件的可靠性达到到99.99%时，由这时，由这1000个零件组装的电个零件组装的电脑的可靠性才能达到脑的可靠性才能达到90%。例例3 一架波音一架波音737客机上有客机上有300多万个零多万个零件，用可靠性件，用可靠性99.99%的零件去组装它，的零件去组装它，这样的飞机你敢坐吗？这样的飞机你敢坐吗？对概率论的评价对概率论的评价概率论是：概率论是：“生活真正的领路人，如果生活真正的领路人，如果没有对
3、概率的某种估计，那么我就寸步没有对概率的某种估计，那么我就寸步难行，无所作为难行，无所作为”。W.S.Jevons虽然它是从考虑某一低级的赌博开始，虽然它是从考虑某一低级的赌博开始，但它却已成为人类知识中最重要的领域但它却已成为人类知识中最重要的领域之一。之一。Laplace数学的伟大使命是在混沌中发现有序。数学的伟大使命是在混沌中发现有序。N.Weiner欧洲的轮盘游戏欧洲的轮盘游戏美国的轮盘游戏美国的轮盘游戏学习目标学习目标理解随机事件的概念、了解事件之间的关系理解随机事件的概念、了解事件之间的关系理解概率的三种定义，掌握概率运算的法则理解概率的三种定义，掌握概率运算的法则理解随机变量及其
4、概率分布的概念理解随机变量及其概率分布的概念掌握二项分布、泊松分布和超几何分布的背掌握二项分布、泊松分布和超几何分布的背景、均值和方差及其应用景、均值和方差及其应用掌握正态分布的主要特征和应用，了解均匀掌握正态分布的主要特征和应用，了解均匀分布的应用分布的应用理解大数定律和中心极限定理的重要意义理解大数定律和中心极限定理的重要意义3.1 事件及其概率事件及其概率 一、试验、事件和样本空间一、试验、事件和样本空间 二、事件的概率二、事件的概率 三、概率的性质和运算法则三、概率的性质和运算法则四、条件概率与事件的独立性四、条件概率与事件的独立性五、全概率公式与逆概率公式五、全概率公式与逆概率公式一
5、、试验、事件和样本空间一、试验、事件和样本空间试验试验事件事件样本空间样本空间必然现象与偶然现象必然现象与偶然现象人们通常将自然界或社会中出现的现象分成二类：人们通常将自然界或社会中出现的现象分成二类：一类是一类是必然的:necessity, inevitability，一类是一类是偶然的:chanciness, chance, fortuity, randomly例如：掷一枚硬币，可能出现正面或反面两种结例如：掷一枚硬币，可能出现正面或反面两种结局，但究竟出现哪种结局事先无法确定局，但究竟出现哪种结局事先无法确定必然性和偶然性之间的关系必然性和偶然性之间的关系大量的偶然性会导致某种必然的结果
6、大量的偶然性会导致某种必然的结果例如，在闹市区，开一家商店例如，在闹市区，开一家商店:每天有哪些顾客前来购买东西是偶然的每天有哪些顾客前来购买东西是偶然的但每天必然有顾客来购买东西则是必然的但每天必然有顾客来购买东西则是必然的概率论的任务就是从偶然性中发现必然性概率论的任务就是从偶然性中发现必然性随机现象随机现象在自然界和人类社会中存在着各种各样的现象，在自然界和人类社会中存在着各种各样的现象，其中一类现象有这样的其中一类现象有这样的特点：特点：在基本条件相同在基本条件相同的情况下，却可能出现不同的结果，究竟出现的情况下，却可能出现不同的结果，究竟出现哪一种结果，随哪一种结果，随“机遇机遇”而
7、定，带有偶然性。而定，带有偶然性。这类现象称为这类现象称为随机现象随机现象。随机现象有没有内在的规律性？如何研究它们？随机现象有没有内在的规律性？如何研究它们？研究它们有什么用研究它们有什么用?1. 随机试验随机试验概率论里所研究的试验有下列特点:在相同的条件下试验可以重复进行在相同的条件下试验可以重复进行;每次试验的结果具有多种可能性每次试验的结果具有多种可能性, 而且在试验之前而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果可以明确试验的所有可能结果;在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果一种结果例如：例如：抛一枚硬币，观察正面、反面出现：
8、抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。的情况。2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。面出现的情况。3：记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次：记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。数。4：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。寿命。2. 随机事件随机事件(random event)事件：试验的结果称为事件试验的结果称为事件例如：抛掷硬币，结果正面朝上，则例如：抛掷硬币，结果正面朝上，则“正面朝上正面朝上”是一个事件是一个事件随机事件：每次试验中，可能发生也可每次试验中，可能发生也可能不发生，而在大量试验中具有某种规
9、能不发生，而在大量试验中具有某种规律性的事件，简称律性的事件，简称事件。通常用大写字母、等表示通常用大写字母、等表示例如：上例的事件例如：上例的事件 “正面朝上正面朝上”基本事件基本事件(elementary event)在随机事件中，有些可以看成是由某些事件复合而成的，而有些事件则不能。基本事件：不能分解成其它事件组合的最不能分解成其它事件组合的最简单的随机事件。简单的随机事件。例如：掷一颗骰子的试验中，其出现的点掷一颗骰子的试验中，其出现的点数，数，“点点”、“点点”“点点”都是基都是基本事本事件，而件，而“奇数点奇数点”不是，但是随机事件。不是，但是随机事件。必然事件、不可能事件必然事件
10、、不可能事件必然事件(certain event)：每次试验中一定发生每次试验中一定发生的事件，用符号的事件，用符号 表示。表示。例如：例如：掷一颗骰子的试验中，掷一颗骰子的试验中，“点数点数小于”是个必然事件。是个必然事件。不可能事件(impossible event)：每次试验中一每次试验中一定不发生的事件，用符号定不发生的事件，用符号 表示。表示。例如：例如：掷一颗骰子的试验中，掷一颗骰子的试验中，“点数点数大于”是个不可能事件。是个不可能事件。不可能事件必然事件随机事件的研究方法随机事件的研究方法如何研究事件呢？如何研究事件呢？集合论集合论事件事件3. 样本空间样本空间给定一个试验给定
11、一个试验, 所有可能的结果的全体构所有可能的结果的全体构成一个集合成一个集合, 这个集合称作这个集合称作样本空间样本空间, 用用大写的希腊字母大写的希腊字母 表示。表示。这个样本空间中的每一个元素也称作此这个样本空间中的每一个元素也称作此样本空间的一个样本空间的一个样本点样本点, 可以用小写的希可以用小写的希腊字母腊字母 表示。表示。 试验和样本空间的例试验和样本空间的例1, 掷一次硬币为一个试验掷一次硬币为一个试验, 则有两个可能则有两个可能的试验结果的试验结果, 正面和反面正面和反面, 则则 =正面正面, 反面反面2, 掷一次骰子为一个试验掷一次骰子为一个试验, 则有六个可能则有六个可能的
12、试验结果的试验结果, 1点点, 2点点, 3点点, 4点点, 5点和点和6点点, 因此样本空间为因此样本空间为 =1点点, 2点点, 3点点, 4点点, 5点点, 6点点更多的试验和样本空间的例更多的试验和样本空间的例3, 掷两次硬币作为一次试验掷两次硬币作为一次试验, 将两次试将两次试验结果排序验结果排序, 则共有四种可能的结果则共有四种可能的结果: (反反, 反反), (反反, 正正), (正正, 反反), (正正, 正正)因此样本空间因此样本空间 =(反反, 反反), (反反, 正正), (正正, 反反), (正正, 正正)更多的试验和样本空间的例更多的试验和样本空间的例4, 掷两次骰子
13、作为一次试验掷两次骰子作为一次试验, 将两次试验结将两次试验结果排序果排序, 则共有则共有36种可能的结果种可能的结果: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6
14、,5), (6,6)故故 = (x,y)|x,y=1,2,3,4,5,6事件的集合描述事件的集合描述事件：就是样本空间的子集就是样本空间的子集, 或者说事件或者说事件就是试验结果的集合就是试验结果的集合, 通常用大写英文字通常用大写英文字母母A, B, C, 等表示等表示.例如：例如： 掷两次硬币这个试验掷两次硬币这个试验, 事件事件A=“至少一至少一次正面朝上次正面朝上”包括三个样本点包括三个样本点(正正,反反),(反正反正),(正正正正). 也可以表也可以表示为示为A=(正正,反反),(反反,正正),(正正正正)掷两次骰子的试验掷两次骰子的试验, 事件事件B=两次点数相同两次点数相同,则则
15、B=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)事件的集合描述事件的集合描述基本事件: 只包括一个样本点只包括一个样本点, 或者说一或者说一个试验结果的事件称为基本事件个试验结果的事件称为基本事件.必然事件: 包括整个样本空间包括整个样本空间 的所有元的所有元素的事件素的事件, 或者就用或者就用 表示表示, 则每次试验则每次试验必然发生必然发生.不可能事件: 不包括任何元素的空集不包括任何元素的空集, 即即每次试验一定不会发生每次试验一定不会发生, 称为不可能事件称为不可能事件, 用用 表示表示, 则则 =.事件的图示事件的图示为了直观为了直观, 经常使用图示来表示事
16、件经常使用图示来表示事件, 一一般地般地, 用一个平面上某个方用一个平面上某个方(或矩或矩)形区表形区表示必然事件或者整个样本空间示必然事件或者整个样本空间 , 其中的其中的一个子区域表示一具体的事件一个子区域表示一具体的事件. A 事件发生的内涵事件发生的内涵事件发生了事件发生了是指事件中的某一样本是指事件中的某一样本点出现了，如：点出现了，如：事件事件1点点,3点点,5点点实验的结果为实验的结果为3点，则称事件发生了。点，则称事件发生了。事件间的关系及其运算事件间的关系及其运算事件的包含事件的包含如果事件如果事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生发生, 即属于即属于A的每一个样本点都
17、属于的每一个样本点都属于B, 则称事件则称事件B包含包含事件事件A或称事件或称事件A包含于事件包含于事件B, 记作记作B A或或A B如：点如：点 奇数点奇数点 B A 等价的说法是：如果B不发生则A也不会发生. 对于任何事件A有A事件的相等事件的相等如果事件如果事件A包含事件包含事件B, 事件事件B也包含事件也包含事件A, 称事件称事件A与与B相等相等. 即即A与与B中的样本点中的样本点完全相同完全相同. 记作记作A=B事件的并事件的并(和和)两个事件两个事件A,B 中中至少至少有一个发生有一个发生, 即即A或或B, 是一个事件是一个事件, 称为事件称为事件A与与B的并的并(和和). 它是属
18、于它是属于A或或B的所有样本点构成的集合的所有样本点构成的集合. 记作：记作：A+B 或或 A B易知A + = A + = A A B 例如：点，点例如：点，点则：点，点则：点，点可列个事件的和可列个事件的和n个事件个事件A1,A2,An中中至少至少有一个发生有一个发生是一个事件是一个事件, 称为事件的和称为事件的和, 记作：记作：A1+A2+An 或或 A1 A2 An可列个事件的和表示可列个事件中至少有可列个事件的和表示可列个事件中至少有一个事件发生一个事件发生, 记作记作11iiiiAA或事件的交事件的交(积积)两个事件两个事件A与与B同时同时发生发生, 即即“A且且B”, 是一个事是
19、一个事件件, 称为事件称为事件A与与B的交的交. 它是由既属于它是由既属于A又属于又属于B的所有公共样本点构成的集合的所有公共样本点构成的集合. 记作：记作：AB或或A B A B 易知A = AA = 例如：例如：点，点点，点点、点点、点则点则点对立事件对立事件事件事件非非A称为称为A的对立事件的对立事件(或逆事件或逆事件). 它是由样本空间中所有不属于它是由样本空间中所有不属于A的样本点的样本点组成的集合组成的集合. 记作记作AAAAAAA,显然A A 事件的差事件的差事件事件A发生而事件发生而事件B不发生不发生, 是一个事件是一个事件, 称为事件称为事件A与与B的差的差. 它是由属于它是
20、由属于A但不属但不属于于B的那些样本点构成的集合的那些样本点构成的集合. 记作：记作：A B A B 易知AABABA例如：点、点、点例如：点、点、点点、点点、点点、点点、点互不相容事件互不相容事件如果事件如果事件A与与B不能同时发生不能同时发生, 即即AB= , 称事件称事件A与与B互不相容互不相容(或称互斥或称互斥). 互不相互不相容事件容事件A与与B没有公共的样本点没有公共的样本点. 显然显然, 基基本事件间是互不相容的本事件间是互不相容的 A B 对立事件一定互不相容, 但互不相容事件未必对立完备事件组完备事件组若事件若事件A1,A2,An为两两互不相容事件为两两互不相容事件, 并且并
21、且A1+A2+An= , 称构成一个称构成一个完备事完备事件组件组或构成一个或构成一个划分划分. A1 A2 A3 A4 最常用的完备事件组是某事件A与它的逆A根据事件互逆的定义，对任意两个事件根据事件互逆的定义，对任意两个事件、，有下列结论成立：、，有下列结论成立：1111(1)(2)(3),nnnniiiiiiiiABABAAAAA AABABABAAAA （ 摩 根 律 ） A+B推 广 ：例例1 掷一颗骰子的试验，观察出现的点数掷一颗骰子的试验，观察出现的点数事件事件A表示表示奇数点奇数点, 事件事件B表示表示点数小于点数小于5, C表示表示小于小于5的偶数点的偶数点. 用集合的列举用
22、集合的列举表示法表示下列事件表示法表示下列事件:BAACABABBABACBA,解解: =1,2,3,4,5,6A=1,3,5B=1,2,3,4C=2,4A+B=1,2,3,4,5A B=5B A=2,4AB=1,3AC= C A=2,46,4,3,2, 1 BA例例2从一批产品中每次取出一个产品进行检从一批产品中每次取出一个产品进行检验验(每次取出的产品不放回每次取出的产品不放回), 事件事件Ai表示表示第第i次取到合格品次取到合格品(i=1,2,3). 试用事件的运试用事件的运算符号表示下列事件算符号表示下列事件: 三次都取到了合格品三次都取到了合格品; 三次中至少有一次取到合格品三次中至
23、少有一次取到合格品; 三次中恰有两次取到合格品三次中恰有两次取到合格品; 三次中最多有一次取到合格品三次中最多有一次取到合格品.解解:三次全取到合格品三次全取到合格品: A1A2A3三次中至少有一次取到合格品三次中至少有一次取到合格品: A1+A2+A3三次中恰有两次取到合格品三次中恰有两次取到合格品:三次中至多有一次取到合格品三次中至多有一次取到合格品:323121AAAAAA321321321AAAAAAAAA例例3 一名射手连续向某个目标射击三次事一名射手连续向某个目标射击三次事件件Ai表示该射手第表示该射手第i次射击时击中目标次射击时击中目标(i=1,2,3). 试用文字叙述下列事件试
24、用文字叙述下列事件:323121323221212323321321221;AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA解解: 三次射击至少两次中中后两次至少有一次未击前两次均未中第三次中但第二次未中三次都中三次中至少一次中第二次未中前两次至少有一次中:323121323221212323321321221AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA例例4 如果如果x表示一个沿数轴做随机运动的表示一个沿数轴做随机运动的质点的位置质点的位置试说明下列各事件的关系试说明下列各事件的关系.A=x|x 20B=x|x3C=x|x9D=x|x55E=x|x 9 5 D C A 0 3
25、 9 20 B E x 解解: 由图可见由图可见A C D, B ED与与B, D与与E互不相容互不相容C与与E为对立事件为对立事件,B与与C, B与与A, E与与A相容相容, 显然显然A与与C, A与与D,C与与D, B与与E也是相容的也是相容的 5 D C A 0 3 9 20 B E x 例从一个袋子中取球，例从一个袋子中取球，i表示第表示第i次取到次取到白球，白球，i表示第表示第i次表示取到黑球。试表示下次表示取到黑球。试表示下列事件。列事件。A1B2A3A1+A2+A3第一次第二次取到黑球，第三次取到白球第一次第二次取到黑球，第三次取到白球前五次至少取到一次黑球前五次至少取到一次黑球
26、前三次中最多只取到了一次白球前三次中最多只取到了一次白球 符号符号 概率论概率论 集合论集合论必然事件全集全集不可能事件空集空集试验的可能结果试验的可能结果 中的元素中的元素A事件事件 的子集的子集A事件事件A的对立事件的对立事件集合集合A的补集的补集事件B包含事件A集合集合B B包含集合包含集合A AA=B事件B与事件A相等集合集合B与集合与集合A相等相等AB（或A+B）事件A与事件B的并集合集合B与集合与集合A的并的并AB（或AB）事件A与事件B的交集合集合B与集合与集合A的交的交AB=事件A与事件B互斥集合集合B与集合与集合A的交的交为空集为空集 BA 课堂练习课堂练习1.设有事件A、B
27、，用它们将必然事件S与和 事件A+B表示为若干个互斥事件的和。2.若A是B的子事件，则A+B=( )，AB=( )3.设当事件A与B同时出现时C也出现,则( ) A+B是C的子事件； C是A+B的子事件； AB是C的子事件； C是AB的子事件。4.设事件A=甲种产品畅销，乙种产品滞销， 则A的对立事件为（ ） 甲种产品滞销，乙种产品畅销； 甲、乙两种产品均畅销； 甲种产品滞销； 甲种产品滞销或者乙种产品畅销。5.设x表示一个沿数轴做随机运动的质点位 置，试说明下列各对事件间的关系 A=|x-a|，B=x-a（0） A=x20，B=x20 A=x22，B=x196. 设A、B、C为任意三个事件,
28、试用 它们表示下列事件: A出现，B、C不出现； A、B出现，C不出现； A、B、C都出现； A、B、C都不出现； A、B、C中恰有一个出现； A、B、C中至少有一个出现； A、B、C中至多有一个出现； A、B、C中不多于一个出现； A、B、C中至少有两个出现； A、B、C中最多有两个出现.7.接连进行三次射击，设事件 Ai=第i次射击命中 i=1，2，3， Bj=三次射击恰好命中j次 j=0，1，2，3， Cr=三次射击至少击中r次 r=0，1，2，3，用Ai（i=1，2，3）表示Bj ，Cr （j，r=0，1，2，3）用Bj （j=0，1，2，3）表示Cr （r=0，1，2，3）二、事件的
29、概率二、事件的概率1. 古典概率古典概率 2. 统计概率统计概率 3. 主观概率主观概率 4. 几何概率几何概率 5. 公理化定义公理化定义 随机事件的概率随机事件的概率概率概率 用来度量随机事件发生的可能性大小的数值用来度量随机事件发生的可能性大小的数值 必然事件的概率为必然事件的概率为1，表示为，表示为P ( )=1 不可能事件发生的可能性是零，不可能事件发生的可能性是零，P( )=0 随机事件随机事件A的概率介于的概率介于0和和1之间，之间，0P(A)11. 概率的古典定义概率的古典定义古典概型（等可能概型）古典概型（等可能概型）具有以下特点具有以下特点 每次试验的可能结果有限（即样本空
30、间中基本每次试验的可能结果有限（即样本空间中基本事件总数有限）事件总数有限） 每个试验结果出现的可能性相同每个试验结果出现的可能性相同 在任一试验中，只能出现一个结果，也就是有在任一试验中，只能出现一个结果，也就是有限个基本事件是限个基本事件是两两互斥的。的。它是最早研究的对象它是最早研究的对象概率的计算概率的计算在古典概型的试验中在古典概型的试验中, 如果总共有如果总共有n个可能的试验结个可能的试验结果果, 因此每个基本事件发生的概率为因此每个基本事件发生的概率为1/n, 如果事件如果事件A包含有包含有m个基本事件个基本事件, 则事件则事件A发生的概发生的概率则为率则为m/n.nmAAP数数
31、样样本本空空间间中中基基本本事事件件总总中中包包含含的的基基本本事事件件数数事事件件 )(简单的例子简单的例子掷一枚硬币的试验掷一枚硬币的试验, 基本事件为正面和反基本事件为正面和反面面, 而且由于硬币的对称性而且由于硬币的对称性, 因此出现正因此出现正面和反面的概率一样面和反面的概率一样, 都是都是1/2.掷一次骰子的试验掷一次骰子的试验, 基本事件有基本事件有6个个, 因此因此每个基本事件的概率为每个基本事件的概率为1/6, 则则P奇数点奇数点=3/6=1/2, P小于小于3=P1,2=2/6=1/3例1例例 袋内装有袋内装有5个白球个白球, 3个黑球个黑球, 从中任取从中任取两个球两个球
32、, 计算取出的两个球都是白球的概率计算取出的两个球都是白球的概率.357. 014578212145)(,:282525235CCnmAPCmAACn则基本事件数的则取到两个白球假设事件数组成试验的基本事件总解例例 一批产品共一批产品共200个个, 废品有废品有6个个, 求：求：(1)这批产品的废品率这批产品的废品率;(2)任取任取3个恰有一个是废品的概率个恰有一个是废品的概率;(3)任取任取3个全是合格品的概率个全是合格品的概率解解 设设P(A), P(A1), P(A0)分别表示分别表示(1),(2),(3)中中所求的概率所求的概率,则则9122. 01981992003213211921
33、93194)() 3(0855. 0198199200321211931946)()2(03. 02006)() 1 (32003194032002194161CCAPCCCAPAP例例 两封信随机地向标号为两封信随机地向标号为1,2,3,4的的4个邮个邮筒投寄筒投寄,求第二个邮筒恰好被投入求第二个邮筒恰好被投入1封信的封信的概率及前两个邮筒中各有一封信的概率概率及前两个邮筒中各有一封信的概率.解解 设事件设事件A=第二个邮筒恰有一封信第二个邮筒恰有一封信事件事件B=前两个邮筒中各有一封信前两个邮筒中各有一封信两封信投入两封信投入4个邮筒共有个邮筒共有4 4种投法种投法, 而组成而组成事件事件
34、A的投法有的投法有2 3种种, 组成事件组成事件B的投法则的投法则只有只有2种种, 因此因此81162)(,83166)(BPAP2. 概率的统计定义概率的统计定义当试验次数当试验次数 n 很大时，事件很大时，事件A发生频率发生频率m/n 稳定地在某一常数稳定地在某一常数 p 上下波动，而且这种上下波动，而且这种波动的幅度一般会随着试验次数增加而缩波动的幅度一般会随着试验次数增加而缩小，则定义小，则定义 p 为事件为事件A发生的概率发生的概率nmpAP)(当当n相当大时，可用事件发生的频率相当大时，可用事件发生的频率m/n作作为其概率的一个近似值为其概率的一个近似值计算概率的统计算概率的统计方
35、法（频率方法）计方法（频率方法）例（补充）例（补充）根据古典概率定义可算出，抛一枚质地根据古典概率定义可算出，抛一枚质地均匀的硬币，出现正面与出现反面的概均匀的硬币，出现正面与出现反面的概率都是率都是0.5。历史上有很多人都曾经做过。历史上有很多人都曾经做过抛硬币试验。抛硬币试验。试验者试验者试验次数试验次数正面出现的频率正面出现的频率蒲丰蒲丰40400.5069K.皮尔逊皮尔逊120000.5016K.皮尔逊皮尔逊240000.5005罗曼诺夫斯基罗曼诺夫斯基806400.4979【例【例3-2】某地区几年来新生儿性别的统计资料如某地区几年来新生儿性别的统计资料如下表所示，由此可判断该地区新
36、生儿为下表所示，由此可判断该地区新生儿为男婴的概率是多少？男婴的概率是多少？观察年份观察年份 新生儿数（个）新生儿数（个） 男婴数（个）男婴数（个） 男婴比例（）男婴比例（）200016248270.509200112056220.516200215127740.512200314077150.5083. 主观概率主观概率(Subjective Probability )有些随机事件发生的可能性，既不能通过等有些随机事件发生的可能性，既不能通过等可能事件个数来计算，也不能根据大量重复可能事件个数来计算，也不能根据大量重复试验的频率来近似试验的频率来近似主观概率主观概率依据人们的主观判断而估计的
37、依据人们的主观判断而估计的随机事件发生的可能性大小随机事件发生的可能性大小 例如例如:某经理认为新产品畅销的可能性是某经理认为新产品畅销的可能性是80人们的经验、专业知识、对事件发生的众多人们的经验、专业知识、对事件发生的众多条件或影响因素的分析等等，都是确定主观条件或影响因素的分析等等，都是确定主观概率的依据概率的依据1.1.几何概型：若一个试验具有两个特征：几何概型：若一个试验具有两个特征： （1 1）试验的结果为无限不可数，）试验的结果为无限不可数， （2 2）每个结果出现的可能性是均匀的。）每个结果出现的可能性是均匀的。 则称这样的试验是几何概型。则称这样的试验是几何概型。4. 几何概
38、型的定义几何概型的定义2.几何概率：设几何概型的样本空间可表示成有度量的区域，记为，事件A所对应的区域记为A，则定义事件A的概率为：( )( )( )m AP AmA的度量的度量A例 某人发现他的表停了，他打开收音机想听电台报时，试求它等待的时间不超过10分钟的概率。 ( )10( )1/6()60Am AP Am的度量的度量l解：因为电台每隔解：因为电台每隔6060分钟分钟( (即即1 1小时小时) )报时一次报时一次, ,因此，可认因此，可认为此人打开收音机的时刻处在为此人打开收音机的时刻处在00，6060上任何一点都是等可上任何一点都是等可 能的，其样本点有无限多个，样本空间就是区间能的
39、，其样本点有无限多个，样本空间就是区间=0=0，6060。设事件设事件A=“A=“等待时间不超过等待时间不超过1010分钟分钟”，则导致事件，则导致事件A A发生的发生的样本点是打开收音机的时刻处于区间样本点是打开收音机的时刻处于区间5050，6060上的任一点。上的任一点。 这个区间长度为这个区间长度为10(10(单位单位: :分分) ) 。而。而的长度为的长度为 60(60(单位单位: :分分) )。由几何概率的定义，由几何概率的定义，0102030405060,刻刻乙乙两两人人到到达达的的时时分分别别为为甲甲设设yx 那末那末.0,0TyTx 两人会面的充要条件为两人会面的充要条件为,
40、tyx 例例6 6 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 0 0 到到 T T 这段时间内这段时间内, , 在预定地点会面在预定地点会面. . 先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人, , 经过经过时间时间t t( ( t t 0的的情况情况.【例【例3.5】某公司甲、乙两厂生产同种产品。甲厂生某公司甲、乙两厂生产同种产品。甲厂生产产400件，其中一级品为件，其中一级品为280件；乙厂生产件；乙厂生产600件，其件，其中一级品有中一级品有360件。若要从该厂的全部产品中任意抽件。若要从该厂的全部产品中任意抽取一件，试求：取一件，试求：已知抽出产品为一级品的条件下已知抽出产品为一级品的条件下该产品
41、出自甲厂的概率；该产品出自甲厂的概率；已知抽出产品出自甲厂已知抽出产品出自甲厂的条件下该产品为一级品的概率。的条件下该产品为一级品的概率。解：解：设设A“甲厂产品甲厂产品”，B“一级品一级品”，则：，则：280280(|),(|)640400P A BP BA补充：求P(A),P(B),P(AB),讨论P(A|B),P(B|A),P(AB),P(A),P(B)之间的关系。例例 全年级全年级100100名学生中名学生中, , 有男生有男生( (以事件以事件A A表示表示)80)80人人, , 女生女生2020人人, , 来自北京的来自北京的( (以事以事件件B B表示表示) )有有2020人人,
42、 , 其中男生其中男生1212人人, ,女生女生8 8人。人。求求P(A),P(B),P(B|A),P(A|B),P(AB)P(A),P(B),P(B|A),P(A|B),P(AB)。解：解：P(A)=80/100=0.8P(B)=20/100=0.2P(B|A)=12/80=0.15P(A|B)=12/20=0.6P(AB)=12/100=0.12 P(C)=40/100=0.4()()(|), (|)( )( )P ABP ABP B AP A BP AP B可以看出条件概率的另一种解释：条件概率的另一种解释：P(A|B)在事件在事件B发生的所有可能结果中发生的所有可能结果中AB发生的概率
43、发生的概率即在样本空间即在样本空间中考虑的条件概率中考虑的条件概率P(A|B)，就变成在新的样本空间就变成在新的样本空间B中计算事件中计算事件AB的概的概率问题了率问题了事件事件B已发生已发生ABABBAB条件概率的一般公式：条件概率的一般公式： ()(|),()0()P ABP A BP BP B【例【例3.5】某公司甲、乙两厂生产同种产品。甲厂生某公司甲、乙两厂生产同种产品。甲厂生产产400件，其中一级品为件，其中一级品为280件；乙厂生产件；乙厂生产600件，其件，其中一级品有中一级品有360件。若要从该厂的全部产品中任意抽件。若要从该厂的全部产品中任意抽取一件，试求：取一件，试求：已知
44、抽出产品为一级品的条件下已知抽出产品为一级品的条件下该产品出自甲厂的概率；该产品出自甲厂的概率；已知抽出产品出自甲厂已知抽出产品出自甲厂的条件下该产品为一级品的概率。的条件下该产品为一级品的概率。解：解：设设A“甲厂产品甲厂产品”，B“一级品一级品”，则：，则： P(A)0.4， P(B) 0.64，P(AB)0.28 所求概率为事件所求概率为事件B发生条件下发生条件下A发生的条件概率发生的条件概率 P(A|B)0.28/0.64所求概率为事件所求概率为事件A发生条件下发生条件下B发生的条件概率发生的条件概率 P(B|A)0.28/0. 42. 乘法公式乘法公式乘法公式：乘法公式： P(AB)
45、 P(A)P(B|A) 或或 P(AB) P(B)P(A|B) 即：两个事件同时发生的概率等于其中一个事件发生的概率乘以另一个事件的条件概率。【例3.1的另一种解法】解：解：A1第一次抽到合格品，第一次抽到合格品，A2第二次抽第二次抽到合格品，到合格品，A1A2抽到两件产品均为合格品抽到两件产品均为合格品P(A1 A2)P(A1)P(A2| A1) 454419800.808250492450相应地相应地, 关于关于n个事件个事件A1,A2,An的乘法公式为的乘法公式为:P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An1)证明: 首先将事件首先将事件A1
46、A2An分为两个事件分为两个事件A1和和A2An然后套用乘法公式得然后套用乘法公式得P(A1A2An)=P(A1) P(A2An|A1)然后再将然后再将P(A2An|A1)中的中的A2An分为两分为两个事件个事件A2和和A3An, 这样依此类推就能够得这样依此类推就能够得到上式到上式.例例 10个考签中有个考签中有4个难签个难签, 3人参加抽签人参加抽签(不放回不放回), 甲先甲先, 乙次乙次, 丙最后丙最后, 求：甲抽到难签求：甲抽到难签, 甲甲,乙都抽到难签乙都抽到难签, 甲没甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲抽到难签而乙抽到难签以及甲,乙乙,丙都抽到难签的概率丙都抽到难签的概率.720248
47、293104)|()|()()(902494106)|()()(901293104)|()()(104)(ABCPABPAPABCPABPAPBAPABPAPABPnmAP解：解： 设事件设事件A,B,C分别表示甲乙丙各抽到难签分别表示甲乙丙各抽到难签3. 事件的独立性事件的独立性独立事件的乘法公式：独立事件的乘法公式： P(AB) P(A)P(B)1 1n n1 12 2n n 【例3.1的第三种情况】121212124545()() ()0.81505055()() ()0.015050P A AP A P AP A AP A P A解：解：A1第一次抽到合格品，第一次抽到合格品，A2第二
48、次抽到合格品，第二次抽到合格品，A1A2抽到两件产品均为合格品抽到两件产品均为合格品两次抽取过程中的样本空间是两次抽取过程中的样本空间是完全相同的，完全相同的，与与是独立是独立事件。事件。计算两个事件同时发生的概率时，弄清计算两个事件同时发生的概率时，弄清楚二者是否独立是十分重要的。在实际楚二者是否独立是十分重要的。在实际应用中，往往要根据所研究问题的实际应用中，往往要根据所研究问题的实际意义来判断两个事件是否独立。意义来判断两个事件是否独立。例：某种零件的加工必须依次经过三道工序，从例：某种零件的加工必须依次经过三道工序，从以往大量的生产记录得知，第一、第二、第三道以往大量的生产记录得知，第
49、一、第二、第三道工序的次品率分别为工序的次品率分别为0.2，0.1，0.1，并且每道工序，并且每道工序是否产生次品与其他工序无关，试求这种零件的是否产生次品与其他工序无关，试求这种零件的次品率。次品率。解：解：设设Ai=第第i道工序出合格品道工序出合格品，则，则P(A1)=0.8， P(A2)=0.9 ，P(A3)=0.9，零件是正品的概率为零件是正品的概率为 P(A)= P(A1A2A3)= P(A1) P(A2)P(A3)=0.648零件是次品的概率为零件是次品的概率为 ( )1( )10.6480.352P AP A 定理定理1：如：如A与与B独立独立, 则则()()( )()( )(
50、) ( )( )1( )( ) ( )P ABP AABP AP ABP AP A P BP AP BP A P B证明：AB与 也独立.,.AB AB同理可知 与与 也相互独立解解 用事件用事件A,B,C分别表示在这段时间内机床甲分别表示在这段时间内机床甲,乙乙,丙不需工人照管，依题意丙不需工人照管，依题意A,B,C相互独立相互独立,并且并且P(A)=0.9, P(B)=0.8, P(C)=0.85则这段时间内有机床需要工人照管的概率为则这段时间内有机床需要工人照管的概率为388.085.08.09.01)()()(1)(1)(CPBPAPABCPABCP五、全概率公式与逆概率公五、全概率公
51、式与逆概率公式式全概率公式全概率公式逆概率公式逆概率公式 全概率公式全概率公式有些复杂的事件，需要将其分解为若干有些复杂的事件，需要将其分解为若干较为简单的事件，再综合应用加法公式较为简单的事件，再综合应用加法公式和乘法公式才能计算出概率。和乘法公式才能计算出概率。全概率公式和贝叶斯公式实质上就是加全概率公式和贝叶斯公式实质上就是加法公式和乘法的综合运用和推广。法公式和乘法的综合运用和推广。全概率定理 如果事件如果事件A1,A2,构成一个完备事件构成一个完备事件组组, 并且都具有正概率并且都具有正概率, 则对任意一事件则对任意一事件B有：有：iiiABPAPBP|)()(iiiiiiiiiAB
52、PAPBAPBPBAABBB)|()()()()(得由加法法则和乘法法则证：证： 由于由于A1,A2,两两互不相容两两互不相容, 因此因此, A1B,A2B,AnB也两两互不相容也两两互不相容. 且且全概率定理的图形理解全概率定理的图形理解如图所示如图所示, 事件事件B的面积为的面积为B与各个事件与各个事件Ai相交的相交的面积之和面积之和.A1A2A3A4B1( )()|niiiiiBBAP BP A P B A解：解：设设“知道正确答案知道正确答案”，“选择正选择正确确”。显然可以分解为。显然可以分解为“知道正确答案而选知道正确答案而选择正确择正确”（即）和（即）和“不知道正确答案但选不知道
53、正确答案但选择正确择正确”（即）这两个事件的和。故：（即）这两个事件的和。故：P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=2/3+1/3*1/4=3/4例例 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为的概率分别为0.30.3，0.20.2，0.10.1，0.40.4，迟到的概率，迟到的概率分别为分别为0.250.25，0.30.3，0.10.1，0 0；求他迟到的概率；求他迟到的概率 解解 设设A1他乘火车来，他乘火车来，A2他乘船来，他乘船来，A3他乘汽他乘汽车来，车来， A4他乘飞机来，他乘飞机来，B他迟到。他
54、迟到。易见：易见：A1, A2, A3, A4构成一个完备事件组，由全概率公构成一个完备事件组，由全概率公式得式得41)|()()(iiiABPAPBP=0.30.25 0.0.3 0.0.1 0.40=0.145。例例12个乒乓球都是新球个乒乓球都是新球, 每次比赛时取出每次比赛时取出3个个用完后放回用完后放回, 求第求第3次比赛时取到的次比赛时取到的3个球都是个球都是新球的概率。新球的概率。解解: 假设假设A0,A1,A2,A3为第一次取到为第一次取到0个个,1个个,2个个,3个新球。个新球。因为一开始都是新球因为一开始都是新球, 因此第一次只能取到因此第一次只能取到3个新球个新球, 即即
55、A3为必然事件为必然事件, 而而A0,A1,A2都是不可都是不可能事件能事件.再假设再假设B0,B1,B2,B3为第二次取到为第二次取到0个个,1个个,2个个3个新球。个新球。当第二次取球的时候当第二次取球的时候, 12个乒乓球中个乒乓球中必然有必然有3个旧球个旧球, 而而B0,B1,B2,B3构成完构成完备事件组备事件组,并能够求出它们的概率并能够求出它们的概率, 再再假设假设C3为最后取到为最后取到3个新球个新球,则针对则针对C3使用全概率公式使用全概率公式.则有则有:22020)|(,22035)|(22056)|(,22084)|()3,2, 1 ,0()(,22084)(,22010
56、8)(,22027)(,2201)(31236333123723312381331239033123393123933121329231223191312330CCBCPCCBCPCCBCPCCBCPiCCCBPCCBPCCCBPCCCBPCCBPiii综合就是综合就是综合就是146. 02202022084220352201082205622027220842201)|()()() 3 , 2 , 1 , 0()|(3033312393iiiiiBCPBPCPiCCBCP最后套用全概率公式得贝叶斯定理 若若A1,A2,构成一个完备事件组构成一个完备事件组, 并且它们都具有正概率并且它们都具有
57、正概率,则对于任何一个概率则对于任何一个概率不为零的事件不为零的事件B, 有有,.)2, 1()|()()|()()|(mABPAPABPAPBAPiiimmm逆概率公式逆概率公式. 逆概率公式逆概率公式证证 : 由条件概率的定义得由条件概率的定义得即贝叶斯公式得定理之公式对分母用全概率公式再对分子用乘法法则,)()()|(BPBAPBAPmm例假定某工厂甲、乙、丙例假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种个车间生产同一种螺钉螺钉, 产量依次占全厂的产量依次占全厂的45%,35%,20%. 如果各如果各车间的次品率依次为车间的次品率依次为4%, 2%, 5%. 现在从待出现在从待出厂产品中检查出
58、厂产品中检查出1个次品个次品, 试判断它是由甲车间试判断它是由甲车间生产的概率。生产的概率。解解: 设事件设事件B表示表示产品为次品产品为次品, A1,A2,A3分别分别表示表示产品为甲产品为甲,乙乙,丙车间生产的丙车间生产的, 显然显然, A1,A2,A3构成一完备事件组构成一完备事件组. 依题意依题意, 有有P(A1)=45%P(A2)=35%P(A3)=20%P(B|A1)=4% P(B|A2)=2%P(B|A3)=5%则由贝叶斯公式得则由贝叶斯公式得514.0%5%20%2%35%4%45%4%45)|()()|()()|(31111iiiABPAPABPAPBAP在使用全概率公式和贝
59、叶斯公式的题型中在使用全概率公式和贝叶斯公式的题型中, 关键的一关键的一步是要使用一完备事件组步是要使用一完备事件组, 而而最常用的完备事件组最常用的完备事件组,是是一事件一事件A与它的逆与它的逆A构成的完备事件组。构成的完备事件组。)|()()|()()|()()|()|()()|()()|()()|()|()()|()()(ABPAPABPAPABPAPBAPABPAPABPAPABPAPBAPABPAPABPAPBP例例 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为的概率为p p，若第一次及格则第二次及格的概率也为，若第一次及格则第二次
60、及格的概率也为p p；若第一次不及格则第二次及格的概率为若第一次不及格则第二次及格的概率为p p/2/2若已知他若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率第二次已经及格，求他第一次及格的概率 121121(), (|), ()1,(|).2pP Ap P AApP Ap P AA 于是，由全概率公式得于是，由全概率公式得 21211211()() (|)() (|)(1),2P AP A P AAP A P AApp由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得 121122() (|)2(|).()1P A P AApP AAP Ap 解解 记记Ai=该学生第该学生第i次考试及格次考试及格，i=1,2显然显
61、然 为样本空为样本空间的一个划分，且已知间的一个划分，且已知 11,A A例 假设某特定人群中某种疾病的发病率为假设某特定人群中某种疾病的发病率为p。 对此疾病有一种血检方法，如果一个人得了这对此疾病有一种血检方法，如果一个人得了这种病种病, 则此血检结果呈阳性的概率为则此血检结果呈阳性的概率为 ，而如果，而如果一个人没这种病化验却呈阳性的概率为一个人没这种病化验却呈阳性的概率为 。求求: 当化验为阳性时，此人得了这种病的概率当化验为阳性时，此人得了这种病的概率和没得这种病的概率。和没得这种病的概率。解解 设设A为事件为事件待检者患病待检者患病, B为事件为事件试验结试验结果阳性果阳性, 则则
62、)1 ()1 ()()()|()|()1 ()()()|()|()1 ()|()()|()()()|(,)|(1)(,)(pppBPAPABPBAPpppBPAPABPBAPppABPAPABPAPBPABPABPpAPpAP则3.2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 一、随机变量的概念一、随机变量的概念 二、随机变量的概率分布二、随机变量的概率分布 三、随机变量的数字特征三、随机变量的数字特征 一、随机变量的概念一、随机变量的概念问题：问题：不同的随机试验，其样本空间的不同的随机试验，其样本空间的构成千差万别，使得很多概率的计算十构成千差万别，使得很多概率的计算十分困难。分困难。解决
63、办法：解决办法：把具体内容抽象掉，将随机把具体内容抽象掉，将随机事件数量化。会发现许多随机试验中概事件数量化。会发现许多随机试验中概率的计算具有某种共同性，遵循某一种率的计算具有某种共同性，遵循某一种概率分布模型。概率分布模型。引例考察考察“抛硬币抛硬币”这一试验，它有两个可这一试验，它有两个可能结果：能结果：“”或或“”，分别用数，分别用数和来代替。和来代替。0( )1eTXX eeH由于试验的结果的出现是随机的，因而(e)的取值也是随机的，我们称(e)为随机变量随机变量.即：每给定一个实验结果或者样本点每给定一个实验结果或者样本点 , 存在着唯一的一个实数存在着唯一的一个实数 ( )与之对
64、应。与之对应。 这样就建立了一个自变量为这样就建立了一个自变量为 而函数值而函数值则为实数的一个特殊的则为实数的一个特殊的“函数函数”。随机变量的定义在条件在条件S下，随机试验的每一个可能的结下，随机试验的每一个可能的结果果 都用一个实数都用一个实数X=X( )来表示，且实来表示，且实数数X满足：满足： X由由 唯一确定唯一确定 对于任意给定的实数对于任意给定的实数，事件，事件X 都是有概率的，则称都是有概率的，则称X为一为一随机变量。通常用大写字母通常用大写字母X，Y，Z或者希腊字母或者希腊字母 , 来表示。来表示。 X ( )设设E E是随机试验，是随机试验， 是它的样本空间，如果是它的样
65、本空间，如果对于每一个样本点对于每一个样本点 ，都有一个实数与它对，都有一个实数与它对应，则称这个定义在样本空间上的单值实函应，则称这个定义在样本空间上的单值实函数：数：X X= =X X ( ( ) )是一个随机变量。是一个随机变量。0 x3421此图显示了只有四个样本点的一个样本空间映此图显示了只有四个样本点的一个样本空间映射到实数射到实数a a, ,b b, ,c c的一种映射的一种映射. . 注意注意 1 1和和 2 2映射映射到同一个实数到同一个实数b b, , 这是一种常见的情况这是一种常见的情况. .xabc X = 0 ， 1 ， 2 试验结果试验结果 = TT ， HT, ,
66、TH， HH相应概率相应概率 = 1/4 ， 1/2 ， 1/4例例 抛掷均匀硬币两次，用抛掷均匀硬币两次，用X X 表示正面表示正面H H出现的次出现的次数。数。随机变量随机变量试验结果的数值性描述试验结果的数值性描述 取值是随机的，事先不能确定取哪一个值取值是随机的，事先不能确定取哪一个值 一个取值对应随机试验的一个可能结果一个取值对应随机试验的一个可能结果随机变量与函数的比较1）随机变量的取值具有随机性，它随试验结果）随机变量的取值具有随机性，它随试验结果的不同而取不同的值，试验之前仅知道它可能取的不同而取不同的值，试验之前仅知道它可能取值的范围，而不能预知它取什么值。值的范围，而不能预知它取什么值。2）随机变量的取值具有统计规律性，由于试验）随机变量的取值具有统计规律性，由于试验结果的出现有一定的概率，因而随机变量取各个结果的出现有一定的概率，因而随机变量取各个值也有一定的概率。值也有一定的概率。3）随机变量是定义在样本空间）随机变量是定义在样本空间 上的函数，上的函数， 中中的元素不一定是实数，而普通函数只是定义在实的元素不一定是实数，而普通函数只是定义在实数轴上。数轴上。根
