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1、第四节第四节 伯诺里方程伯诺里方程Bernoullis equation一、理想流体元流伯诺里方程一、理想流体元流伯诺里方程1 1、在运动的理想流体中，取微元平行六面体、在运动的理想流体中，取微元平行六面体 ABCDABCDdzdydxyxzop(x,y,z) O2pdxxp2pdxxpMN2、分析受力和运动情况、分析受力和运动情况表面力：表面力：理想流体内不存在切应力，只有压强理想流体内不存在切应力，只有压强 22()()pdxMMxpdxNNxPp dApdydzPp dApdydz质量力：质量力：dxdydzXFBX3 由牛顿第二定律由牛顿第二定律 化简得化简得dtdumFxx1122x
2、dupppdxpdxdydzX dxdydzdxdydzxxdt dtduxpXx1同理同理 11yzdupYydtdupZzdt 上式即理想流体运动微分方程式，由欧拉于上式即理想流体运动微分方程式，由欧拉于1755年导年导出出,又称欧拉运动微分方程式，是控制理想流体运动的基又称欧拉运动微分方程式，是控制理想流体运动的基本方程式本方程式 二、理想流体运动微分方程二、理想流体运动微分方程 的伯诺里积分的伯诺里积分 将理想流体运动微分方程将理想流体运动微分方程各式分别乘以沿流线的坐标增各式分别乘以沿流线的坐标增量量dx，dy，dz，然后相加，然后相加 1()yxzpppXdxYdyZdzdxdyd
3、zxyzdudududxdydzdtdtdt111xyzdupXxdtdupYydtdupZzdt然后引入特定条件进行积分然后引入特定条件进行积分 1、质量力只有重力：、质量力只有重力：X=Y=0，Z=-ggdzZdzYdyXdxdzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpZdzYdyXdxzyx1)(2、不可压缩流体、不可压缩流体=const 、恒定流动、恒定流动p=p(x,y,z) pddpdzzpdyypdxxp113、恒定流流线与迹线重合、恒定流流线与迹线重合xyzdxu dtdyu dtdzu dt222222uduuuddzdtdudydtdudxdtduzyxzy
4、x22pugdzdd积分得积分得 或或 22cupgzcgugpz222211221222pupuggggzz 上式被称为理想流体元流伯诺里方程上式被称为理想流体元流伯诺里方程 ，该式由瑞士物理学家该式由瑞士物理学家D.Bernoulli于于1738年首先推出，称伯诺里方程年首先推出，称伯诺里方程 。应用条件：应用条件：恒定流恒定流 不可压缩流体不可压缩流体 质量力仅重力质量力仅重力 微小流束（元流）微小流束（元流）几何意义几何意义物理意义物理意义位置高度（位置水头）位置高度（位置水头）位置势能（位能）位置势能（位能）测压管高度测压管高度(压强水头压强水头)压强势能压强势能(压能压能)测压管水
5、头测压管水头总势能总势能流速高度（速度水头）流速高度（速度水头）动能动能总水头总水头机械能机械能总水头线是水平线总水头线是水平线机械能守恒机械能守恒gphpgpzmgzzmg22122umugmg22puzgg22puzcgg三、理想流体元流伯诺里方程的物理意义与几何意义三、理想流体元流伯诺里方程的物理意义与几何意义 毕托管毕托管(皮托管皮托管Pitot)测点流速测点流速 当水流受到迎面物体的阻碍，被迫向两边（或四周）分流时，当水流受到迎面物体的阻碍，被迫向两边（或四周）分流时，在物体表面上受水流顶冲的在物体表面上受水流顶冲的A点流速等于零，称为滞止点（或驻点流速等于零，称为滞止点（或驻点）。
6、在滞止点处水流的动能全部转化为压能。毕托管就是利用这点）。在滞止点处水流的动能全部转化为压能。毕托管就是利用这个原理制成的一种量测流速的仪器个原理制成的一种量测流速的仪器(书书43页图页图3-15)。u0uA =0AAuhpHH2ug h22ApuHggh测速管与测压管的液面差测速管与测压管的液面差22AppuHhgg BA点点迎流孔（测速管）迎流孔（测速管）B点点侧面顺流孔（测压管）侧面顺流孔（测压管）法国人用一根玻璃管测塞纳河流速四、实际流体元流的伯诺里方程四、实际流体元流的伯诺里方程 v实际流体具有粘性，运动时产生流动阻力，克服阻力作实际流体具有粘性，运动时产生流动阻力，克服阻力作功，使
7、流体的一部分机械能不可逆地转化为热能而散失功，使流体的一部分机械能不可逆地转化为热能而散失 v粘性流体流动时，单位重量流体具有的机械能沿程不守粘性流体流动时，单位重量流体具有的机械能沿程不守恒而是减少，总水头线不是水平线，而是沿程下降线恒而是减少，总水头线不是水平线，而是沿程下降线 v设设hl为实际流体元流单位重量流体由过流断面为实际流体元流单位重量流体由过流断面1-1运动运动至过流断面至过流断面2-2的机械能损失，又称为元流的水头损失的机械能损失，又称为元流的水头损失 v根据能量守恒原理根据能量守恒原理 lhgugpzgugpz2222222111五、实际流体总流的伯诺里方程五、实际流体总流
8、的伯诺里方程 1、恒定总流，任取元流、恒定总流，任取元流21122211122222()()puggpulggzgu dAzgu dAhgdQp2 u2 dA2z2z12112P1u1 dA1A1A21122gdQgu dAgu dA2211221222lpupuzzhgggg实际流体元流的伯诺里方程实际流体元流的伯诺里方程设元流流量为设元流流量为dQ=u1dA1=u2dA2，则，则 总流是由无数元流构成的，上式对总流过流断面积分，总流是由无数元流构成的，上式对总流过流断面积分，便得到单位时间通过总流两过流断面的总能量关系为便得到单位时间通过总流两过流断面的总能量关系为221122111222
9、22()()pupulggggzgu dAzgu dAhgdQ1122211111112222222222AAlAAQpuzgu dAgu dAggpuzgu dAgu dAhgdQgg势能项势能项动能项动能项水头损水头损失项失项2、渐变流渐变流Gradually Varied Flow和急变流和急变流渐变流渐变流: 流线近于平行直线的流动流线近于平行直线的流动, 过水断面近似为平面，过水断面近似为平面，渐变流的极限为均匀流；否则为急变流渐变流的极限为均匀流；否则为急变流弯管速度分布弯管速度分布直管流速分布直管流速分布渐变流特征：渐变流特征：在渐变流同一过水断面上，各点动压强按静在渐变流同一过
10、水断面上，各点动压强按静压强的规律分布压强的规律分布说明：说明：#上述结论只适用于渐变上述结论只适用于渐变流或均匀流同一过水断面流或均匀流同一过水断面上的各点，对不同过水断上的各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同面，其单位势能往往不同 #急变流时，流线的曲率急变流时，流线的曲率较大，沿垂直流向方向较大，沿垂直流向方向n的加速度不能忽略的加速度不能忽略constpzg3、势能项积分、势能项积分 控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均匀流断面上匀流断面上ApzgudAgconstpzgAppzgudAzgQggppzg udAzgQgg4、动能
11、项积分动能项积分 Kinetic Energy2322AAuugudAgdAgg332222AugdAgAgQgggvv各点各点u不同，引入不同，引入修正系数，积分按断面平均速度修正系数，积分按断面平均速度v计算计算 是为修正以断面平均速度计算的动能与实际动能是为修正以断面平均速度计算的动能与实际动能的差异而引入的修正系数，称为的差异而引入的修正系数，称为动能修正系数动能修正系数33123312AAu dAu dAAAvv 实际动能实际动能_断面平均速度计算的动能断面平均速度计算的动能关于动能修正系数关于动能修正系数的说明说明：# 是一无量纲数，取决于总流过水断面上的流速分布，是一无量纲数，取
12、决于总流过水断面上的流速分布，分布越均匀，分布越均匀， 值越小，越接近于值越小，越接近于1.0# 层流层流 =2.0紊流紊流 =1.051.1 一般工程计算中常取一般工程计算中常取 =1.0 #实际动能与按断面平均流速计算的动能的比值实际动能与按断面平均流速计算的动能的比值22gv单位重量流体的平均动能（流速水头）单位重量流体的平均动能（流速水头）2222AugudAgQggv5、水头损失项积分、水头损失项积分该式是单位时间总流由该式是单位时间总流由1-1至至2-2断面的机械能损失断面的机械能损失其中将其中将hl定义为总流单位重量流体由定义为总流单位重量流体由l-l至至2-2断面的平均断面的平
13、均机械能损失，称总流的水头损失机械能损失，称总流的水头损失实际是实际是单位重量流体克服流动阻力所做的功单位重量流体克服流动阻力所做的功。llQhgdQhgQp2 u2 dA2z2z12112P1u1 dA1A1A2实际流体总流的伯诺里方程实际流体总流的伯诺里方程 若两断面间无分流及汇流若两断面间无分流及汇流Q1=Q2=Q，以以gQ除上式得除上式得211 1111222222222lpzgQgQggpzgQgQh gQggvv221112221222lppzzhggggvv6、总流伯诺里方程的适用条件、总流伯诺里方程的适用条件 v恒定流恒定流v质量力只有重力质量力只有重力v不可压缩流体不可压缩流
14、体v所取过流断面为渐变流断面；所取过流断面为渐变流断面；v两断面间无分流和汇流。两断面间无分流和汇流。引自实际流体元流的伯努利方程引自实际流体元流的伯努利方程7、讨论元流、总流伯诺里方程的区别、讨论元流、总流伯诺里方程的区别v以断面的平均流速以断面的平均流速V，代替元流中的点流速，代替元流中的点流速uv以平均水头损失以平均水头损失hl，代替元流的水头损失代替元流的水头损失h lv各项反映的是整股水流的能量代替某一元流的各项反映的是整股水流的能量代替某一元流的能量，总流方程中的各项均为平均意义能量，总流方程中的各项均为平均意义221112221222lppzzhggggvv2211221222l
15、pupuzzhgggg8、条件扩展、条件扩展# 流量沿程变化流量沿程变化11V12233V2V32111112222221,22333331,3()2()2()2llpgQzggpgQzhggpgQzhggvvv# # 沿程有能量输入或输出沿程有能量输入或输出 当两过流断面间有水泵、风机或水轮机等流体机械时，当两过流断面间有水泵、风机或水轮机等流体机械时，存在能量的输入或输出存在能量的输入或输出 时，要时，要根据能量守恒原理，计入根据能量守恒原理，计入单位重量流体经流体机械获得或失去的机械能单位重量流体经流体机械获得或失去的机械能 lmhgvgpzHgvgpz222222221111式中式中
16、+Hm 单位重量流体通过流体机械获得的机械能，单位重量流体通过流体机械获得的机械能，如水泵的扬程；如水泵的扬程； -Hm单位重量流体给予流体机械的机械能，如水单位重量流体给予流体机械的机械能，如水轮机的作用水头轮机的作用水头 六、气流的伯努利方程气流的伯努利方程 2212121222() ()alpg zzpp az2z12112 p2p1外部空气密度气流密度压强损失动压静压全压全压位压位压七、能量方程的解题步骤七、能量方程的解题步骤三选一列三选一列1、选择基准面：选择基准面： 基准面可任意选定，但应以简化计算基准面可任意选定，但应以简化计算为原则。例如选过水断面形心（为原则。例如选过水断面形
17、心（z=0），或选自由液面），或选自由液面（p=0）等。）等。2、选择计算断面：、选择计算断面：计算断面应选择均匀流断面或渐变计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面，并且应选取已知量尽量多的断面。流断面，并且应选取已知量尽量多的断面。3、选择计算点：、选择计算点：管流通常选在管轴上，明渠流通常选管流通常选在管轴上，明渠流通常选在自由液面。对同一个方程，必须采用相同的压强标准。在自由液面。对同一个方程，必须采用相同的压强标准。4、 列能量方程解题列能量方程解题 注意与连续性方程的联合使用。注意与连续性方程的联合使用。例例1：用直径：用直径d =100mm的水管从水箱引水。水箱水面与管的水管从水箱引
18、水。水箱水面与管道出口断面中心的高差道出口断面中心的高差H =4m保持恒定，水头损失保持恒定，水头损失hl=3m水柱。试求管道的流量。水柱。试求管道的流量。 HV20 01-12-2解：解：1、选基准面选基准面Z的取值的取值为便于计算，选通过管道出口断面为便于计算，选通过管道出口断面中心的水平面为同一基准面中心的水平面为同一基准面0 02、选计算断面选计算断面 解题关键解题关键应选在渐变流断面，并使其中一个含应选在渐变流断面，并使其中一个含已知量最多，另一个含待求量已知量最多，另一个含待求量 3、选计算点选计算点管流管流轴心点轴心点明渠明渠水面上水面上lhgvgpzgvgpz222222221
19、111将各量代入总流伯诺里方程将各量代入总流伯诺里方程 取取 =1.022200002lvHhg22 ()4.43m/slvg Hh3220.035m /sQv Alhgvgpzgvgpz222222221111HV20 01-12-2d2d1(a) h0-0Z1Z2p1/gp2/g例例2、文丘里、文丘里Venturi流量计流量计(如图如图a) (组成、种类组成、种类) ，进口直进口直径径d1 =100mm，喉管直径，喉管直径d1= 50mm，实测测压管水头差，实测测压管水头差 h=0.6m（或水银压差计的水银面高差（或水银压差计的水银面高差hp=4.76cm），流），流量计的流量系数量计的流
20、量系数=0.98，试求管道输水的流量。，试求管道输水的流量。1-12-2解：选水平基准面解：选水平基准面O-O，选收缩段进口前断面和喉管断面为，选收缩段进口前断面和喉管断面为l-1、2-2计算断面，两者均为渐变流过流断面，计算点取在管轴线上。列计算断面，两者均为渐变流过流断面，计算点取在管轴线上。列伯诺里方程为伯诺里方程为 211 112222222lpvzggpvzhgggvgpzgvgpz2222222111移项移项gvgpzgvgpz2222222111gpzgpzgvgv211212222补充连续性方程补充连续性方程 2211AvAv12211212vddvAAv代入前式，整理得代入前
21、式，整理得 gpzgpzgddv22114211211理论流量为理论流量为 K称为仪器常数，由流量计的结构尺寸决定称为仪器常数，由流量计的结构尺寸决定21221221421dKgdd2112011124121421dppQv Agzzggdd令令用测压管量测时用测压管量测时 hgpzgpz22110QKh经整理后，理论流量经整理后，理论流量(b)d1d2hp0-0Z1Z21-12-20.98 0.0090.66.83 l/sQKh令令为考虑两断面间水为考虑两断面间水头损失后引入的流量系头损失后引入的流量系数，则实际流量数，则实际流量0QQKh用用U形水银形水银压差计测得压差计测得 ppphhgpzgpz6 .1212211说明：说明： K 对给定管径是常量对给定管径是常量 随流动情况和管道收缩的几何形状而不同随流动情况和管道收缩的几何形状而不同拿两张薄纸，平行提在手中，当用嘴顺纸间缝隙拿两张薄纸，平行提在手中，当用嘴顺纸间缝隙吹气时，问薄纸是不动、靠拢、还是张开？为什么？吹气时，问薄纸是不动、靠拢、还是张开？为什么？靠拢；流速增大、压强降低靠拢；流速增大、压强降低 End
