微分几何曲面的第一基本形式

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1、第二节第二节 曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式 1、 给出曲面S：r = r (u ,v) ，曲面曲线 (c)：u = u (t) , v = v (t) , 或 r = r u (t) ,v (t) = r (t)，若 s 表示弧长有 所以 称为曲面的第一基本形式。其中称为第一类基本量。( )uvdudvr trrdtdt 或uvdrr dur dv2222222()22uvuuuvvvdsdrr dur dvrr durr dudvr r dvEduFdudvGdv vvvuuurrGrrFrrE,3、用显函数样 z = z (x , y) 表示的曲面的第一基本形式222222)1 (

2、2)1 (1,1., 1 , 0, 0 , 1),(,dyqpqdxdydxpqrrGpqrrFprrEyzqxzpqrpryxzyxryyyxxxyx4、第一基本形式是正定的。事实上，也可从 直接得到。. 0)(, 0, 0222222vuvuvuuurrrrFEGrGrrrE2ds 1、把两个向 量 和 间的交角称为方向（ ）和（ ）间的角。dvrdurdrvuvrurrvudvdu:vu:2、设两方向的夹角为 ，则22222222)()(cosvGvuFuEGdvFdudvEduvGdvudvvduFuEdurdrvrurdvrdurrdrrdrvuvu3、特别 （1）（2）对于坐标曲线

3、的交角，有故坐标曲线正交的充要条件为 F = 0 。0)()()(vGdvudvvduFuEdudEGFrrrrrdrrdrvuvucos2、3 正交曲线簇和正交轨线 设有两曲线 如果它们正交，则 或 即0),(),(,0vvuDuvuCBdvAdu0)(vGdvudvvduFuEdu0)(uvdudvGuvdudvFE0)(DCBAGDCBAFE 若另给出一簇曲线 则另一族与它正交的曲线称为这曲线的正交轨线，它的微分方程 是 即 ,0BdvAdu0)()(uvBAGuvBAFEAGBFAFBEuv2、4 曲面域的面积),( vuP),(vduu),(dvvu ),(dvvduudurudvr