第四章 n维向量与线性方程组.

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1、2022-5-30南京邮电大学 邱中华-1-2022-5-30南京邮电大学 邱中华-2-O),(zyxP三维空间的向量三维空间的向量:有向线段。有向线段。 建立标准直角坐标系后，建立标准直角坐标系后，它由一点它由一点 P 或一个三元数组或一个三元数组 (x,y,z) 唯一确定。唯一确定。 我们还定义了向量的我们还定义了向量的加法加法(即平行四边形法则即平行四边形法则)和向量的和向量的数数乘乘两种运算。两种运算。 k2022-5-30南京邮电大学 邱中华-3- 在建立标准直角坐标系后，由于向量与三元数组在建立标准直角坐标系后，由于向量与三元数组(又称坐标又称坐标)的一一对应关系。用坐标计算向量的

2、加法与数乘就特别方便。的一一对应关系。用坐标计算向量的加法与数乘就特别方便。),(,),(222111zyxzyx ),(212121zzyyxx ),(111kzkykxk 由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中的向量进行推广的向量进行推广(把几何向量代数化把几何向量代数化)。直接把。直接把 n 元的数组叫做元的数组叫做(代数中的代数中的)，向量加法与数乘运算的定义直接平移三维向，向量加法与数乘运算的定义直接平移三维向量坐标的运算。量坐标的运算。2022-5-30南京邮电大学 邱中华-4-n 个数组成的有序数组个数组成的有序数组称为一

3、个称为一个 或或 , 其中其中 称为该行称为该行(列列)向向量的第量的第 i 个个. 行向量与列向量统称为行向量与列向量统称为. 分量全是实数分量全是实数(复数复数)的向量称为实的向量称为实(复复)向量向量, n 维实维实(复复)向向量的全体记为量的全体记为 . 以后如无特殊说明以后如无特殊说明, 向量均指实向量向量均指实向量.:所讨论的向量如无说明均指列向量所讨论的向量如无说明均指列向量,而行向量用列而行向量用列向量的转置表示向量的转置表示. 向量的向量的运算和运算和运算同矩阵的这两种运算一样运算同矩阵的这两种运算一样.)(CRnnia naaa21),(21naaa或或2022-5-30南

4、京邮电大学 邱中华-5- 由若干个同维数的列由若干个同维数的列(行行)向量组成的集合称为一个向量组成的集合称为一个. 如无特殊说明如无特殊说明,向量组总是指只含有限个向量的向量组向量组总是指只含有限个向量的向量组. : mn 的矩阵的矩阵 A 全体列向量是含全体列向量是含 n 个个 m 维列向量的向量维列向量的向量组组, 简称简称 ; 全体行向量是含全体行向量是含 m 个个 n 维的行向量组维的行向量组,简称简称 .: 解的全体是一个含无穷多个解的全体是一个含无穷多个 n 维列向量的向量组维列向量的向量组.)(0nArxAnm mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 mnmmn

5、naaaaaaaaa2122221112112022-5-30南京邮电大学 邱中华-6-1 3 2 如图三维空间中的向量如图三维空间中的向量, 必有必有332211 kkk 2211 kk 3 2211 ll 不可能不可能 )5(17133)4(632)3(1533)2(9432)1(3321321321321321xxxxxxxxxxxxxxx TTTTTA543211713316321153394323111 下面方程组增广矩阵的行组下面方程组增广矩阵的行组TTT124 TTT3252 有如下关系有如下关系这说明第这说明第(4)和第和第(5)个方程都是多余的个方程都是多余的,可以去掉可以去

6、掉.2022-5-30南京邮电大学 邱中华-7-对于向量组对于向量组 , 表达式表达式mA ,:21)(2211Rkkkkimm )(2211Rimm 称为向量组称为向量组 A 的一个的一个线性组合线性组合.又如果又如果 是向量组是向量组 A 的一个线的一个线性组合性组合, 即即 则称向量则称向量 可由向量组可由向量组 A 线性表示线性表示. 2022-5-30南京邮电大学 邱中华-8-(1) 向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示 nA ,:21 nnxxx2211存在数存在数 使使nxxx,21上面方程组有解上面方程组有解.即即 ,21nAAx 有解有解|)( ArAr 注意注意

7、:符号混用符号混用另外另外, 如果解唯一如果解唯一, 则表示方法是唯一的则表示方法是唯一的. 如果如果 (按定义按定义)(转换为方程组转换为方程组)(用矩阵的秩用矩阵的秩)2022-5-30南京邮电大学 邱中华-9-,2121pq qppqppqqccccccccc 212222111211(2) 如果向量组如果向量组 中的每个向量都可由向量组中的每个向量都可由向量组 线性表示线性表示, 则称则称.qB ,:21pA ,:21 ppqqqqppppccccccccc 22112222112212211111ABBAX 有解有解|)(BArAr (改写为矩阵改写为矩阵)(转换为矩阵方程转换为矩阵

8、方程)(用矩阵的秩用矩阵的秩)一个向量组表示另一向量一个向量组表示另一向量组就是矩阵乘法的关系组就是矩阵乘法的关系! !2022-5-30南京邮电大学 邱中华-10-(3) 如果向量组如果向量组 与向量组与向量组 可以相互表示可以相互表示,则称这两个则称这两个.qB ,:21pA ,:21向量组向量组 A 与向量组与向量组 B 等价等价)(|)(BrBArAr (1) 向量组的向量组的等价关系等价关系是不是是不是等价关系等价关系?(用矩阵的秩用矩阵的秩)(2) BAr, A 的行组与的行组与 B 的行组等价吗的行组等价吗?2022-5-30南京邮电大学 邱中华-11-例例1解解,321 A记记

9、 问问 为何值时为何值时, 不能由不能由 A 线性表线性表示示; 能由能由 A 唯一表示唯一表示; 能由能由 A 有无穷多种表示有无穷多种表示, 并求并求所有表示方法所有表示方法. T), 3 , 0( T)1 , 1 ,1(1 T)1 ,1 , 1(2 T)1 , 1 , 1(3 设向量组设向量组 A:向量向量 只需讨论只需讨论 Ax解的情况解的情况. 结论是：结论是：0 时时,方程组无解方程组无解, 不能由不能由 A 表示表示. 30 且且时时, 方程组有唯一解方程组有唯一解, 可由可由 A 唯一表示唯一表示. 2022-5-30南京邮电大学 邱中华-12-3 时时, 方程组有无穷多解方程

10、组有无穷多解, 可由可由 A 无穷多种表示无穷多种表示. 通解为通解为 021111321kxxx所有表示方法所有表示方法:321)2()1( kkk 其中其中 k 为任意实数为任意实数.即即 211121)2(112)1(330kkk2022-5-30南京邮电大学 邱中华-13-,111:1 A,3112 4213 ,110:1 B 2012 ，例例2向量组向量组 A 与向量组与向量组 B 等价吗等价吗? 000001132010111214310121110111|rBA2|)( BArAr又易知又易知 , 故等价故等价.2)( Br2022-5-30南京邮电大学 邱中华-14-,111:

11、1 A,3112 4213 ,110:1 B 2012 0001102014213111113211TTTA r 110201201110211TTB r最简阶形一样最简阶形一样(不计零行不计零行), 故等价故等价.2022-5-30南京邮电大学 邱中华-15-例例3已知已知3,2,432321 rr证明证明(1) 能能 线性表示线性表示; (2) 不能由不能由 线性表示线性表示.1 32, 321, 4 如果如果 则则 2,32 r12)(,432432 rrr与条件矛盾与条件矛盾.(2) 要证要证|,4321321 rr 2,321 r3,|,4324321 rr2|,13232 rr(1