第3节弯曲应力
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1、弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束各横截面上同时有弯矩各横截面上同时有弯矩M和剪力和剪力Q，称为称为。各横截面只有弯矩各横截面只有弯矩M，而无剪力而无剪力Q，称为称为。弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束 纯弯曲梁变形后各横截面仍保持纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，称为为一平面，称为。既不伸长也不缩短的纤维面既不伸长也不缩短的纤维面，称为称为，中性层与横截面，中性层与横截面的交线称为的交线称为。中中性性层层中中性性轴轴 dyabddxabdxdOO)(21 )()(aydddyababab 弯曲应力惯性矩计算弯曲强
2、度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束0AdA 首首先先 yEE 将将(a)代入代入(b) 0, AAydAEydAEb 得得代代入入上上式式将将式式0 AydA000 cczcAyAAySAyydA弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束抗弯刚度zzIyM 正应力到中性轴距离弯矩惯性矩zAMdAy 其其次次 zAAMdAyEdAyEyb2)( 式式代代入入得得将将zzzzAzEIMMEIdAyI 12或或令令弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束：Y 1 、不能用于斜弯曲梁、不能用于斜弯曲梁zzIyM Y 2 、可用
3、于具有纵向对称面的其它截、可用于具有纵向对称面的其它截面形式的梁面形式的梁Y 3、 当当l/h5时时,可用于横向弯曲梁可用于横向弯曲梁Y 4 、在材料的比例极限范围内使用、在材料的比例极限范围内使用Y 5 、可近似用于变截面梁、可近似用于变截面梁Y 6 、可近似用于曲率半径比梁高度大、可近似用于曲率半径比梁高度大得多的曲梁得多的曲梁弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束解：解：（1）作弯矩图，求最大弯矩）作弯矩图，求最大弯矩梁的弯矩图如图梁的弯矩图如图5-8b所示，由图知所示，由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大，梁在固定端横截面上的弯矩最大，其值为其值为 mN
4、3000216000222max qlM （2）求最大应力）求最大应力 因危险截面上的弯矩为负，故截因危险截面上的弯矩为负，故截面上缘受最大拉应力，其值为面上缘受最大拉应力，其值为MPa178Pa101780152. 0106 .253000681maxmax yIMzT 在截面的下端受最大压应力，其值在截面的下端受最大压应力，其值为为MPa385Pa103850328. 0106 .253000682maxmax yIMzC 图图5-8所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载荷集度均布载荷集度q=6kN/m；梁由梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的
5、惯性矩号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩Iz=25.6cm4。试求试求此梁的最大拉应力和最大压应力。此梁的最大拉应力和最大压应力。弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束（1）矩形截面）矩形截面12332232222bhybbdyydAyIhhAzhh 3242DdAIAp yzPyAzAAAPIIIIIdAzdAydAzydAI22)(22222 123bhIz 123hbIy （2）圆形与圆环截面）圆形与圆环截面Dd)(164DII)d(D642III64D2III44yz44pyz4pyz 式式中中或或圆圆环环形形截截面面圆圆形形截截面面弯曲应力惯性矩
6、计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束(1)组合截面的惯性矩组合截面的惯性矩zzAAzIIdAydAyI 1222 AAAAzAzdAaydAadAydAayIdAyI222212)(11平行移轴公式(2)平行移轴公式平行移轴公式AbIIAaIIyyzz2211 AAcczydAyAySydA00且且弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束 求求T字形截面对中性轴字形截面对中性轴 z的惯性矩的惯性矩.：（：（1） 确定形心和中性轴的位置确定形心和中性轴的位置 将截面划分为将截面划分为 、两矩形，取与截两矩形，取与截面底边相重合的面底边相重合的
7、z 轴为参考轴，则两轴为参考轴，则两矩形的面积及其形心至矩形的面积及其形心至z 轴的距离分轴的距离分别为：别为：cm122cm1226cm5262cm126222 IIIIIIyAyA整个截面的形心整个截面的形心C在对称轴在对称轴y上的位置则为：上的位置则为：cm31212112512 IIIIIIIIIiiCAAyAyAAyAy即中性轴即中性轴z与轴与轴z 的距离为的距离为3cm。弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束（2）求各组合部分对中性轴）求各组合部分对中性轴z的惯性矩的惯性矩 设两矩形的形心设两矩形的形心C和和C；其形心轴为其形心轴为z1和和z2，它
8、们距它们距z轴的距离分别为：轴的距离分别为：cm2,cm2 IIIIIICCaCCa由平行移轴公式，两矩形对中由平行移轴公式，两矩形对中性轴性轴z的惯性矩为：的惯性矩为：4232242321cm521221226cm841221262 IIIIIIzzIIIIIzzIAaIIAaII（3）求整个截面对中性轴的惯性矩）求整个截面对中性轴的惯性矩 将两矩形对将两矩形对z轴的惯性矩相加，得轴的惯性矩相加，得4cm1365284 zIIzIzIII弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束zIyMma
9、xmaxmax zzWyI max621223maxbhhbhyIWzz )1(1 . 0)1(321 . 0322644343334max DDWddddyIWzzz hbzy抗弯截面模量抗弯截面模量弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束最大正应力的计算式：最大正应力的计算式： 一矩形截面木梁如图一矩形截面木梁如图 所示，已知所示，已知P=10kN，a=1.2m，木材的许用应木材的许用应力力 =10MPa 。设梁横截面的高宽比为设梁横截面的高宽比为h/b =2，试选梁的截面尺寸。试选梁的截面尺寸。zWMmaxmax (5-13) zWMmaxmax梁弯曲时的
10、正应力强度条件：梁弯曲时的正应力强度条件：弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束：（：（1） 作弯矩图，求最大弯矩作弯矩图，求最大弯矩 用叠加法作出梁的弯矩图如图用叠加法作出梁的弯矩图如图5-14b所示，由图知最大弯矩为所示，由图知最大弯矩为mkN122 . 110max PaM（2）选择截面尺寸）选择截面尺寸 3366maxmaxcm1200m1012001010100012 zzzWMWWM即即得得由强度条件由强度条件 截面的抗弯截面模量截面的抗弯截面模量 120032326263322 bbbbbhWz最后选用最后选用12.5 25cm2的截面。的截面。
11、cm4 .242 bhcm2 .122120033 b由此得由此得弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束解：解：（1）作弯矩图，求最大弯矩）作弯矩图，求最大弯矩 如图如图5-15c所示，最大弯矩为所示，最大弯矩为mkN36 . 05max PaM（2）选择截面尺寸）选择截面尺寸 由强度条件由强度条件 336maxcm5 .37m108010003 MWz cm9)(11 . 05 .3711 . 05 .37 cm5 .3711 . 0346534343 DDWz则则 加热炉的水管横梁两端支于炉壁上，通过纵向水管作用于其上的钢加热炉的水管横梁两端支于炉壁上，通
