第2节n阶行列式

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1、1.2 n阶行列式阶行列式一、排列与逆序一、排列与逆序1. n级排列级排列由自然数由自然数 组成的组成的不重复不重复的每一种有的每一种有1,2,.,n确定次序确定次序的排列的排列,称为一个称为一个n级排列级排列(排列排列).如如:1234和和4312都是都是 级排列级排列, 24315是一个是一个 级排列级排列.对对 个不同的自然数个不同的自然数,规定规定由小到大由小到大为为标准次序标准次序.n45先计算出排列中每个元素逆序的个数先计算出排列中每个元素逆序的个数, ,即计算出即计算出排列中排列中每个元素每个元素前面比它大的元素个数前面比它大的元素个数, ,该排列中该排列中所有元素所有元素的的逆

2、序数之总和逆序数之总和即为所求排列的逆序数即为所求排列的逆序数. .逆序数的计算方法逆序数的计算方法2. 逆序与逆序数逆序与逆序数在一个排列在一个排列 中中,1 2(. . . )tsni iiii若数若数,stii 则称数则称数 与与 构成一个构成一个逆序逆序.siti一个一个n级排列中逆序的总数称为该排列的级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数逆序数,记为记为1 2(. )nN i ii例例1 计算排列计算排列 32514 的逆序数的逆序数. .解解3排在首位排在首位, , 故其逆序数为故其逆序数为0; ;2的前面比的前面比2大的数只有大的数只有1个个3, , 故其逆序数为故其逆序数为1;

3、;5的前面没有比的前面没有比5大的数大的数, , 故其逆序数为故其逆序数为0; ;1的前面比的前面比1大的数有大的数有3个个, , 故其逆序数为故其逆序数为3; ;4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个, , 故其逆序数为故其逆序数为1. .即即:排列排列 3 2 5 1 4逆序个数逆序个数 0 1 0 3 1排列排列 32514 的逆序数：的逆序数：. .513010 N例例2 计算排列计算排列217986354的逆序数的逆序数, ,并讨论其奇偶性并讨论其奇偶性.解解排列排列2 1 7 9 8 6 3 5 4逆序个数逆序个数0原排列的逆序数为原排列的逆序数为010013445N . .1

4、8 该排列是偶排列该排列是偶排列. .3. 奇排列与偶排列奇排列与偶排列逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列, ,逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列. .10 0 13 44 5例例3 求排列求排列(1)(2).321n nn的逆序数及奇偶性的逆序数及奇偶性.解解 排列排列:(1)(2) .321nnn逆序个数逆序个数:01.23 n1 n2 n原排列的逆序数为：原排列的逆序数为：012.(3)(2)(1)Nnnn . .2)1( nn当当, ,kn4 14 k时时, , 原排列是偶排列原排列是偶排列; ;当当, ,24 kn34 k时时, , 原排列

5、是奇排列原排列是奇排列. .1.三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa.312213332112322311aaaaaaaaa (1) 三阶行列式共有三阶行列式共有 6 项项, 即即 3! 项项;(2) 每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积;(3) 每项的符号是每项的符号是:当该项元素的当该项元素的行标按自然数顺序行标按自然数顺序排列排列后后,若对应的若对应的列标列标构成的构成的排列排列是是偶排列偶排列则取则取正正号号, ,是是奇排列奇排列则取则取负负号号.322113312312332211aaaaaaaaa 二

6、、二、n阶行列式的定义阶行列式的定义故三阶行列式可定义为故三阶行列式可定义为: :333231232221131211aaaaaaaaa,)1(321321321321)( jjjjjjjjjNaaa其中其中 为对所有三级排列为对所有三级排列 求和求和.321jjj 321jjj由由 个元素个元素 组成的记号组成的记号2n( ,1,2,., )ijai jn 111212122212.nnnnnnaaaaaaaaa简记为简记为 或或 )det(ija|ija称为称为n阶行列式阶行列式, 其中横排称为行其中横排称为行, 竖排称为列竖排称为列. 代数和代数和.表示所有可能取自不同行不同列的表示所有

7、可能取自不同行不同列的 个元素乘积的个元素乘积的n2. n阶行列式阶行列式111212122212.nnnnnnaaaaaaaaa1 2121 2(.).2.1.( 1).nnnN j jjjjjnjjja aa )det(ijaija称为行列式称为行列式数数的元素的元素. .即即1 212(.)12( 1).nnN j jjjjnja aa 称为行列式的一般项称为行列式的一般项.列后列后,若对应的若对应的列标列标构成的排列是构成的排列是偶排列偶排列则则取正号取正号,是是奇排列奇排列则则取负号取负号. .各项的符号是各项的符号是:当该项元素的当该项元素的行标按自然数顺序排行标按自然数顺序排说明

8、说明(2) n阶行列式是阶行列式是n!项的代数和项的代数和;(3) 前的符号为前的符号为1212.njjnja aa1 2(.)( 1);nN j jj (4) 一阶行列式一阶行列式,|aa 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆. .个数个数和未知量个数相同的一次线性方程组的需要和未知量个数相同的一次线性方程组的需要(1) 行列式是一种特定的算式行列式是一种特定的算式, ,它是根据求解方程它是根据求解方程而定义的而定义的;一阶行列式一阶行列式| 1|而而绝对值绝对值| 1|1, 1.例例4 计算行列式计算行列式解解 四阶行列式四阶行列式D的一般项为的一般项为1 2 3 41234()1

9、234( 1)N j j j jjjjja aaa , ,D中第中第 1 行的行的非零元素非零元素只有只有, ,14a1j因而因而只能取只能取4, ,同理由同理由D中第中第 2, , 3, , 4 行知行知, ,. .0004003002001000 D, ,32 j, ,23 j, ,14 j即行列式即行列式D中的非零项只有一项中的非零项只有一项, , 即即41322314)4321()1(aaaaDN (4321)( 1)1 2 3 4N 6( 1)24 . .24 例例5:副对角线元素不为副对角线元素不为0，而其余元素为，而其余元素为0的行列式的行列式( (1).1)( 1)N n n

10、12110.00.0.00nnnaaa (1)21211( 1).n nnnna aa 1211.nnna aa 例例6 计算上三角形行列式计算上三角形行列式(对角线以下的元素全为对角线以下的元素全为0)解解 行列式的一般项：行列式的一般项：1 212(.)12( 1).nnN j jjjjnja aa , , ,njn , ,11 njn, ,22 njn., , ,22 j, ,11 j11121222.0.00.nnnnaaaaaa1122(.0)nna aa . .从第从第n行开始到第行开始到第1行考察不为行考察不为0的项：的项：不为零的项只有不为零的项只有:(1,2,., )1122

11、( 1).Nnnna aa (1,2,., )11121112( 1).Nnnnnna aaa aa11121222.0.00.nnnnaaaaaa1122.nna aa . .例例7下三角形行列式下三角形行列式(对角线以上的元素全为对角线以上的元素全为0)1122.nna aa . .112122120.0.0.nnnnaaaaaa而而 例例8 对角行列式对角行列式(非主对角线上元素全为非主对角线上元素全为0)1122.nna aa . .11220.00.0.00.nnaaa三、对换三、对换定义定义 在一个排列在一个排列 中中,1 2. . .ntsii iii若仅将数码若仅将数码tisi

12、与与 对调对调, 得到另一个排列得到另一个排列1 2. . . ,tsniii ii这种变换称为这种变换称为对换对换, 记为记为( , ).tsi i将排列中将排列中相邻两个元素相邻两个元素对调对调,称为称为相邻对换相邻对换.如如: 21435逆序数逆序数: 2112435(2,1)12345(4,3)0奇偶性奇偶性: 偶偶奇奇偶偶将排列中相邻两个元素对调将排列中相邻两个元素对调,称为称为相邻对换相邻对换.如如: 21435定理定理1 任意一个排列经过一个对换后任意一个排列经过一个对换后,其奇偶性改变其奇偶性改变.奇偶性奇偶性:偶偶奇奇推论推论1 奇排列变成自然数排列的对换次数为奇数奇排列变成

13、自然数排列的对换次数为奇数,偶排列变成自然数排列的对换次数为偶数偶排列变成自然数排列的对换次数为偶数.12435(2,1)12345(4,3)偶偶定理定理 2奇、偶排列各占一半奇、偶排列各占一半. .个数码个数码 共有共有 个个 级排列级排列, ,n)1( nn!n其中其中3个数码的排列个数码的排列:奇奇偶偶奇奇偶偶奇奇偶偶123、132、213、231、321、312奇偶性奇偶性定理定理3n阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为1 12 2( 1).,n nNi ji ji jDaaa 其中其中 为行标与列标排列的逆序数之和为行标与列标排列的逆序数之和.N推论推论2阶行列式也可定义为阶行列式也

14、可定义为n1 212(.)12( 1).nnN i iiiii nDa aa 例例9 在六阶行列式中在六阶行列式中, , 下列两项各应带什么符号下列两项各应带什么符号解解651456423123aaaaaa)1(431261235654a a a a a a , ,431265 的逆序数的逆序数:N102210 , ,6 651456423123aaaaaa前边应带正号前边应带正号. .; ;651456423123aaaaaa)1(. .556651144332aaaaaa)2(256651144332aaaaaa)2(行标排列行标排列 341562 的逆序数的逆序数:002004N , ,6 列标排列列标排列 234165 的逆序数的逆序数:N103000 , ,4 前边应带正号前边应带正号. .256651144332aaaaaa例例10用行列式的定义计算用行列式的定义计算解解nD121121( 1).nnNnnnaaaa ( 1) 1 2.(1) (2)Nnnn , ,!)1(nN 00.01000.200.10.00000.00nn . . nD, ,!)1(nN N(1)(2). 2 1nnNn 012.(2)0n , ,2)2)(1( nn. .!)1(2)2)(1(nDnnn nD121121( 1).nnNnnnaaaa