线性代数第3章行列式(江龙版)

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1、线 性 代 数 China University of Mining and Technology行 列 式 及 其 应 用行 列 式 及 其 应 用 第三章第三章 行列式及其应用行列式及其应用3.1 3.1 行列式的定义行列式的定义 3.2 3.2 行列式的性质行列式的性质 3.3 3.3 行列式的应用行列式的应用 线 性 代 数 China University of Mining and Technology行 列 式 及 其 应 用行 列 式 及 其 应 用 学习要点学习要点： 1. 了解行列式的定义及其性质。了解行列式的定义及其性质。 2. 会运用行列式的性质求行列式的值。会运用行列

2、式的性质求行列式的值。 3. 重点掌握行列式在理论推导中的应用，主要有以下三重点掌握行列式在理论推导中的应用，主要有以下三个定理：个定理： （1）行列式展式定理；）行列式展式定理； （2）克莱姆法则；）克莱姆法则； （3）行列式乘法定理。）行列式乘法定理。线 性 代 数 China University of Mining and Technology行 列 式 及 其 应 用行 列 式 及 其 应 用 3.1 3.1 行列式的定义行列式的定义引例引例3.1 用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组.22221211212111bxaxabxaxa 解解 第一个方程乘以第一个方程乘以a

3、22，第二个方程乘以，第二个方程乘以a12，然后两方程，然后两方程相减得相减得 .212221121122211baabxaaaa类似可得类似可得.211211221122211abbaxaaaa线 性 代 数 China University of Mining and Technology行 列 式 及 其 应 用行 列 式 及 其 应 用 当当 021122211aaaa时时, 得方程组的解得方程组的解.,211222112112112211222112122211aaaaabbaxaaaabaabx212221121122211baabxaaaa.211211221122211abba

4、xaaaa我们引进我们引进二阶行列式二阶行列式的概念的概念, 即定义即定义,2112221122211211aaaaaaaa那么那么, 方程组的解可整齐地表示为方程组的解可整齐地表示为.,222112112212112222112112221211aaaababaxaaaaababx线 性 代 数 China University of Mining and Technology行 列 式 及 其 应 用行 列 式 及 其 应 用 二阶行列式二阶行列式22211211aaaa又称为二阶方阵又称为二阶方阵22211211aaaaA的行列式的行列式类似地，如果定义类似地，如果定义三阶行列式三阶行列

5、式333231232221131211aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa11122122aaAaa记作记作11221221a aa a线 性 代 数 China University of Mining and Technology行 列 式 及 其 应 用行 列 式 及 其 应 用 含有三个未知量的线性方程组含有三个未知量的线性方程组,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa0333231232221131211aaaaaaaaaD当系数矩

6、阵的行列式当系数矩阵的行列式 时，通过计算可知其解可整齐地表示为时，通过计算可知其解可整齐地表示为 线 性 代 数 China University of Mining and Technology行 列 式 及 其 应 用行 列 式 及 其 应 用 112131111311121222232122321222332333133331323123111213111213111213212223212223212223313233313233313233,baaabaaabbaaabaaabbaaabaaabxxxaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa线 性 代 数 China

7、University of Mining and Technology行 列 式 及 其 应 用行 列 式 及 其 应 用 问题问题nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111111212122212nnnnnnaaaaaaaaa使得方程组的解可整齐地表示为使得方程组的解可整齐地表示为设设nn的线性方程组的线性方程组如何定义如何定义 n 阶行列式阶行列式线 性 代 数 China University of Mining and Technology行 列 式 及 其 应 用行 列 式 及 其 应 用 11211112122222122

8、22121111211112121222212221212,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbaaaabbaaaabbaaaabxxaaaaaaaaaaaaaaaaaa（这里假设分母不为零）（这里假设分母不为零）线 性 代 数 China University of Mining and Technology行 列 式 及 其 应 用行 列 式 及 其 应 用 nnnnnnaaaaaaaaaA.212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA.212222111211在在 中划掉第中划掉第 i 行和第行和第 j 列元素而剩下的元素按原来相对位置列元素而剩下的元素按原来相对位

9、置不变所构成的低一阶的行列式，称为不变所构成的低一阶的行列式，称为 (i,j) 元素的元素的余子式余子式，记为，记为Mij ,称称Aij = (-1)i+j Mij为为 (i,j) 元素的元素的代数余子式代数余子式。A线 性 代 数 China University of Mining and Technology行 列 式 及 其 应 用行 列 式 及 其 应 用 132333322232211nnnnnnnaaaaaaaaaM131333312232112nnnnnnnaaaaaaaaaM111111) 1(MA122112) 1(MA例如例如nnnnnnaaaaaaaaaA.212222

10、111211nnnnnnaaaaaaaaaA.212222111211线 性 代 数 China University of Mining and Technology行 列 式 及 其 应 用行 列 式 及 其 应 用 n 阶行列式阶行列式的值定义如下：的值定义如下：njjjjMaA1111(-1)当当n=1时，时， =a11;当当n2时，假设对时，假设对n-1阶行列式已有定义，则阶行列式已有定义，则（上式又称（上式又称按第一行展开按第一行展开）111212122212.nnnnnnaaaaaaAaaannnjjjAaAaAaAa1112121111111（3.1）A线 性 代 数 Chin

11、a University of Mining and Technology行 列 式 及 其 应 用行 列 式 及 其 应 用 由定义，可得二阶行列式与三阶行列式的计算由定义，可得二阶行列式与三阶行列式的计算22211211aaaa2112221112121111aaaaAaAa131312121111333231232221131211AaAaAaaaaaaaaaa323122211333133221123332232211aaaaaaaaaaaaaaa312213332112322311322113133212332211-aaaaaaaaaaaaaaaaaa线 性 代 数 China U