振动理论基础.
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1、第十六章 振动理论基础16-1 单自由度系统的自由振动16-2 计算系统固有频率的能量法16-3 单自由度系统有阻尼的自由振动16-4 单自由度系统的受迫振动16-5 隔振的概念机械系统在其平衡位置附近所作的往复运动称为振动振动。振动现象普遍存在于自然界和工程技术中，如地震。本章仅研究单自由度系统的微振动，讨论振动的基本特征。 谈谈本专业内有关振动问题！？系统偏离平衡位置后，仅在恢复力作用下维持的振动称为自由振动自由振动。 16-1 单自由度系统的自由振动图示为单自由度系统自由振动的简化模型，它是从实际振动系统中抽象出的简图。设弹簧原长为lo ，刚度为k ，物块质量为m ，静平衡时，弹簧变形为
2、st（称静变形），有以平衡位置为原点，建立图示坐标。物块在一般位置的受力如图示，则其振动微分方程为 令 ，代入上式，得单自由度系统自由振动微分方程的标准形式 其通解 频率周期积分常数A 和分别为振幅和初位相。它们由运动的初始条件决定。 圆频率（或固有圆频率、固有频率） 频率频率和周期周期只与系统本身所固有的惯性和弹性有关，而与运动的初始条件无关，是描述振动系统基本性质的重要物理量。 质量m=0.5kg的物块，沿光滑斜面无初速滑下，如图所示。当物块下落高度h=0.1m时撞于无质量的弹簧上并不再分离。弹簧刚度k=0.8kN/m，倾角300，求系统振动的固有频率和振幅，并写出物块的运动方程。 例16
3、-1解：解：物块在平衡位置时，弹簧静变形 以此位置为原点以此位置为原点O，建立图示，建立图示坐标。坐标。物块受力如图，其运动微分方程为 化简后得 系统的固有频率 当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点。则运动的初始条件：初位移 初速度 得振幅及初位相 mm物块的运动方程 如图所示。在无重弹性梁的中部放置质量为如图所示。在无重弹性梁的中部放置质量为m的物块，其的物块，其静挠度（静变形）为静挠度（静变形）为2mm。若将物块在梁未变形位置处无。若将物块在梁未变形位置处无初速释放，求系统的振动规律。初速释放，求系统的振动规律。 例16-2解：解：此无重弹性梁相当于弹簧，其刚性系数 取重物平衡位
4、置为坐标原点，x轴方向铅直向下，运动微分方程为: 式中圆频率 在初瞬时t0，物块位于未变形的梁上，其坐标x0st= 2mm，初速v0=0，则初位相 振幅系统的振动规律 mmmm等效弹簧并联和串联弹簧等效弹簧并联和串联弹簧 并联弹簧 下图表示刚度分别为k1和k2的两个弹簧并联的两种形式，其分析方法相同。 由平衡方程得 式中为并联弹簧的等效弹簧刚度。n个并联弹簧的等效刚度 串联弹簧 图示为串联弹簧。静平衡时，变形分别为 和 。 弹簧总伸长 等效弹簧刚度 n个弹簧串联，则有 图为一摆振系统。杆重不计，球质量为m ，摆对轴O的转动惯量为J，弹簧刚度为k，杆于水平位置平衡，尺寸如图。求系统微小振动的运动
5、微分方程及振动频率。 例16-3解：解：摆处于平衡位置时，弹簧已压缩 由平衡方程 有 以平衡位置为角坐标原点，摆绕轴O的转动微分方程 得系统自由振动微分方程 固有频率 可见，只要以平衡位置为坐标原点，系统的运动微分方程具有标准形式。 16-2 计算系统固有频率的能量法 对于单自由度的保守系统，固有频率可简便地由机械能守恒定律求出，称为能量法。 设图示系统作简谐振动，则有 若以平衡位置为势能零点，则系统势能 系统动能 由机械能守恒，即T+V常数，则 系统固有频率 表明；如取平衡位置为势能零点，则可以弹簧在平衡位置的长度为原长计算弹性势能，而不考虑重力势能。只要写出系统的只要写出系统的动能和以平衡
6、位置为零点的势能，即可确定系统的固有频率，动能和以平衡位置为零点的势能，即可确定系统的固有频率，而不必列写系统的微分方程。而不必列写系统的微分方程。 图示为两个相同的塔轮。齿轮半径皆为R，半径为r 的鼓轮上绕有细绳，轮上连一铅直弹簧，轮上挂一重物。塔轮对轴的转动惯量皆为J ，弹簧刚度为k ，重物质量为m 。求系统振动的固有频率。 例16-4解：解：以系统平衡时重物的位置为原点，取 x 为广义坐标。 设系统振动的规律为 则 塔轮角速度 系统动能 取平衡位置为势能零点，系统的势能为 由 得系统的固有频率 在如图示的振动系统中，摆杆AO对铰链O的转动惯量为J，在A水平位置处于平衡，求系统微振动的固有
7、频率。 例16-5解：解：取摆角 为广义坐标，设其变化规律为 系统动能 以平衡位置为势能零点，系统势能 由 得固有频率 2222122)(2121dklkJn如图所示，质量为m ，半径为r 的圆柱体，在半径为R 的圆弧槽上作无滑动的滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。 例16-6解：解：取摆角 为广义坐标，设其微振动规律为 圆柱体中心O1的速度 由运动学知，当圆柱体作纯滚动时，角速度 系统动能 整理后得 系统的势能为重力势能，取圆柱在最低处时的圆心位置C 为势能零点，则系统势能 圆柱体作微振动 由 得 2222)(21)(43rRmgrRmn16-3 单自由度系统有阻尼的自由振动
8、 由于阻力作用，自由振动的振幅将逐渐衰减，最后趋于静止。产生阻尼的原因很多，不同的阻尼具有不同的性质。以下仅讨论阻力与速度成正比的粘性阻尼或称线性阻尼线性阻尼。即 式中负号表明阻力与速度方向相反，阻尼系数c 取决于阻尼介质的性质和物体的形状。 1、有阻尼自由振动微分方程的标准形式图（a）为一有阻尼的质量-弹簧系统。取平衡位置为坐标原点，受力如图（b）。 阻力 微分方程为 或化简得 代入上式得衰减振动微分方程的标准形式 令2、微分方程的解 设 ，代入式中，得特征方程 方程的两个根 通解 有三种可能情形： 小阻尼情形 当 或 时，称为小阻尼小阻尼。 此时 令 则 得运动方程 如图所示。由于振幅随时
9、间不断衰减，故称为衰减振动衰减振动。衰减振动的周期 令 称为阻尼比阻尼比。 周期Td较无阻尼自由振动的周期T 略有增加。阻尼对周期的阻尼对周期的影响很小影响很小，可忽略不计，取TdT。 则 阻尼对振幅的影响 为描述振幅 Ai 的衰减，引入减幅系数（或称振幅缩减率振幅缩减率）。由图示得 上式表明：衰减振动的振幅按几何级数递减。阻尼对自阻尼对自由振动的振幅影响较大由振动的振幅影响较大。 例如：0.05时，Td1.00125T而经过10个周期后，振幅只及原振幅的4.3%。初始幅值 A 和初位相取决于初始条件。 对上式两边取对数得对数缩减率对数缩减率所以设t0时， ， ，则有 临界阻尼情形 当 或 时
10、，称为临界阻尼临界阻尼。 此时， 。微分方程的解为 不具有振动的特点不具有振动的特点，积分常数C1、C2由初始条件定。运动图如图所示。 大阻尼情形 当 或 时，称为大阻尼大阻尼。 此时微分方程的解为 积分常数C1、C2由初始条件定。运动图如图所示。 图为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为k1，圆盘对杆轴的转动惯量为J。如圆盘外缘受到与转动速度成正比的切向阻力，其衰减扭振的周期为Td。求圆盘所受阻力偶的矩与转动角速度的关系。 例16-7解：解：盘外缘切向阻力与转动速度成正比，则此阻力偶矩M 与角速度成正比，且转向相反。 设 ，为阻力偶系数，则圆盘绕杆轴转动的微分方程为 或 由此得衰减振动周期
