第2节-二阶线性微分方程

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1、二阶线性微分方程：- (2)()()(21xfyxayxay 0)()(21 yxayxay)()()(21xfyxayxay - (1)若 为常数 )(),(21xaxa)()()()()(1) 1(1)(0 xfyxayxayxayxannnnn阶线性微分方程:自由项线性齐次方程:线性非齐次方程:二阶常系数线性微分方程：第第2 2节节 二阶线性微分方程二阶线性微分方程1 .解的性质为任意常数。，的解，其中仍是则212211)2()()( CCxyCxyC为齐次方程（2）的两个解,)(),() 1 (21xyxy若性质)(),()2(21xyxy若为非齐次方程（1）的两个.)2()()( ,

2、21的解是则解xyxy证为齐次线性方程(2)的解，故有)(),() 1 (21xyxy由于0)()(12111 yxayxay0)()(22212 yxayxay两式分别乘以 后相加，得：21,CC一.二阶线性微分方程解的结构)()()(12111xfyxayxay )()()(22212xfyxayxay 0)()()(22112221112211 yCyCxayCyCxayCyC由定义知，)()(2211xyCxyC为齐次方程 (2) 的解.)(),()2(21xyxy若为非齐次方程（1）的两个解，则.)2()()(21的解是xyxy两式相减即知2.函数的线性相关性：定义1 对于定义在区间

3、 I 上的 n个 函数若存在 n 个不全为零的数),(),(),(21xyxyxynIxxykxykxykkkknnn, 0)()()(, 221121使则称函数 在I上线性相关， 否则称为线性无关.)(),(),(21xyxyxyn0sincos1.),(sin,cos, 1) 1 (:2222xxxxeg是线性相关的在. 00.),(, 1)2(32123212kkkxkxkkxx内是线性无关的在定义2称阶导数上有在区间设,1I),2 , 1)(nnixyi)()()()()()()()()()() 1() 1(2) 1(12121xyxyxyxyxyxyxyxyxyxWnnnnnn.Wr

4、onski)(,),(),(21行列式的为xyxyxyn上线性相关在I)(),(),(21xyxyxynI, 0)(xxW . I)()()()()(),(211221上恒等于常数在或上线性相关在xyxyxyxyIxyxy定理 1 I.),()(,)()()()(,)(,)(I,)(),(),(10002110000I21xxyyyxyyxyxfyxayxayyxyyxyxCxfxaxa存在唯一解初值问题的初始条件及任给则对设. 0,0)()()2()(00yxyxyxyy则必有的解满足零初始条件是线性齐次方程若解，则阶线性齐次方程的两个二为若)(),(21xyxy. 0)(,00 xWIx使

5、得上线性无关在区间I)(),(21xyxy定理 2上线性相关在区间 I)(),(21xyxy.,0)( IxxW) 1 ()2(.,0)()(0)()()(. 0)(,.) 1 (2211022011022011000kCkCxyCxyCxyCxyCxwxwIx至少有一非零解为系数行列式的方程组则以使设存在只证充分性证是齐次则令yykyky,2211. 0)(, 0)()2(00 xyxy且满足初始条件的解，方程., 0121线性相关故的结论知由定理yyy .) 1 ()2(及反证法即可证得由定理3 二阶线性齐次方程（2）必存在两个线性无关的解。.)(),(, 011001)(1)(0)(0)

6、(1)()2()(),(2100202010121线性无关所以的解，则与的满足初始条件分别是方程设证xyxyxwxyxyxyxyxyxy)()(2211xyCxyCy是 (2) 的通解（ 为任意常数).21,CC证为二阶线性齐次方程（2）的)(),(21xyxy若两个线性无关的解,则定理4由性质知，)()(2211xyCxyCy为齐次方程 (2) 的解.两个独立的任意常数，)(),(21xyxy又线性无关保证了 为21,CC为二阶线性齐次方程 (2) 的通解.)()(2211xyCxyCy从而定理 5所对应的齐次方程(2)的通解，则)1()(为xy为非齐次方程 (1) 的通解。*)(yxyy设

7、 是二阶线性非齐次方程 (1) 的一个特解，*y证:*满足y)()()(*2*1*xfyxayxay0)()()()()(21xyxaxyxaxy:)(满足xy为非齐次方程 (1) 的解，又)()()()(*2*1*xfyyxayyxayy*yyy两式相加含有两个独立的任意常数.含有两个独立的任意常数，为 (1) 通解。,)2()(的通解为xy从而*yyy例 1 已知二阶线性方程的三个特解求满足的特解。解为对应齐次方程的两个线性无关的解，的通解为特解为：)()()(xfyxQyxPy ,21xeyxy,23xey 3) 0(, 1) 0(yyxexexx2,故)()()(xfyxQyxPy x

8、CCeCeCxxeCxeCyxxxx) 1()()(2122122131) 0(1) 0(221CyCCyxxeey222, 121CC例 2 已知二阶线性方程，求该方程的通解。0642 yyxyx的一个特解为31xy 解代入方程，得设,)()()()(312xxuxyxuxy21,02CxCuux 得其通解为xu1取22312211)()( xCxCxyCxyCy所求通解为定理 6（叠加原理),)()()()(1211的特解为设xfyxayxayxy ,)()()()(2212的特解为xfyxayxayxy .)()()()()()(212121的特解为则xfxfyxayxayxyxy .证

9、略542)5()3()1(1)225(1 .11 P习题业作二.二阶常系数线性微分方程的解法1.二阶常系数线性齐次微分方程通解的求法)2( )0(0 aycybya二阶常系数线性齐次方程xrxrxrxrrxerereeey2)( ,)()2( 的解，将为设代入 的左边得：)2( 0)(22xrxrxrxrecbrarcebreear0, 02cbrarerx故因特征方程：,02crbar,042 acb有两个不等的实根;21rr ,042 acb有两个相等的实根;21rr ,042 acb有一对共轭复根，.,21ir其根(特征根)有三种情况：对应于特征根的三种情况， 的通解有以下三种情况：)2

10、( xrxreyeyrr212121,) 1 (时为 的两个线性无关的解，)2( 的通解为：)2( xrxreCeCy2121xreyrr1121,)2(时0)()2()(21111111112111211 xrxrxrxrxrxrxrxreuaucbrarubaruaecueeureubeaureruaeua为二重特征根）21(rr xxuu )(, 0取于是xrxreyexy1112为与线性无关的解。为 的一个解，)2( 为 的解，代入方程得xrexuy1)(2设)2( xrexCCy1)(21 的通解为)2( 为两个线性无关的解，xixieyeyir)(2)(121,)3(时xixieC

11、eCy)(2)(1,cos)(2121xeyyx故 的复数形式的通解为)2( xeyyixsin)(2121)sincos(21xCxCeyx还是 的解，且线性无关)2( 的实数形式的通解为：)2( )sin(cos)sin(cos)(2)(1xixeeyxixeeyxxixxi公式Euler性质例3 求下列方程的通解：,032)1( yyy,02)2( yyy解 特征方程：特征根：通解为：,0) 1)(3(322rrrr,1, 321rrxxeCeCy231解 特征方程：,0) 1(1222rrr特征根：,121 rr通解为：xexCCy)(21,0522 rr特征方程：特征根：,21,21