第三节 二阶微分方程

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1、1一、可直接积分求解的微分方程一、可直接积分求解的微分方程 解解例例2. ecos xyx求的通解211esin2xyxC2121ecos4xyxC xC通解为通解为第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程2一阶微分方程一阶微分方程求求方方程程0)21( yyx的的通通解解. . 解解令令 yp , ,则则方方程程化化为为 积积分分得得 1ln)12ln(21lnCxp , , 再再积积分分, ,得得原原方方程程的的通通解解为为 2211)12(CxCy . . 例例,dd)21(pxpx 3原原方方程程化化为为 ),(ddpyfypp . . 则则 xpydd xyypdddd ，yppdd

2、4求求方方程程02 yyy的的通通解解. . 解解令令 xypdd , , 代代入入原原方方程程, ,得得 即即 0)dd( pypyp. . 解解得得yCp , , 即即 yCxy dd, , 分离变量分离变量, ,xCyydd , , 积积分分得得通通解解为为 则则yppydd 例例1717，0dd2 pypyp.212CxCy 若若0dd pypy, , 50 y 也也是是方方程程的的解解, ,不不过过已已包包含含在在上上述述通通解解中中； 若若0 p, ,可可得得Cy , ,这这也也包包含含在在上上述述通通解解中中. . 本本题题还还可可用用下下面面的的简简单单解解法法: : 原原方方

3、程程可可化化为为 0)( yy, , 即即 xCyydd , , 于于是是得得到到原原方方程程的的通通解解 212CxCy . . 即即 0)dd( pypyp. . 积积分分得得通通解解为为 .212CxCy 若若0dd pypy, , 求求方方程程02 yyy的的通通解解. . 解解例例17176求求方方程程yyy 3的的通通解解. . 解解方方程程不不显显含含x, , 令令 yp , , 则则 yppydd , , 原原方方程程化化为为 ppypp 3dd, , 即即 01dd2 pypp, , 由由0 p, ,得得Cy , , 由由1dd2 pyp, , 得得 1arctanCyp ,

4、 , 或或 )tan(1Cyp , , 例例1818这是原方程的一个解这是原方程的一个解( (非通解非通解).). 7或或 xCCye)sin(21 , , 因因此此 12)earcsin(CCyx 为为原原方方程程的的通通解解. . ( (显显然然Cy 包包含含在在其其中中) ). . 即即 )tan(dd1Cyxy , , 或或 xCyyd)tan(d1 , , 积积分分得得 21ln)sin(lnCxCy , , 求求方方程程yyy 3的的通通解解. . 解解例例1818或或 )tan(1Cyp , , 8四、二阶常系数线性微分方程解的性质与通解的结构四、二阶常系数线性微分方程解的性质与

5、通解的结构二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的标准形式的标准形式其中其中a, ,b是常数是常数. .(1)(xfbyyay 0 byyay(2)若若0)( xf, ,则则称称为为二二阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程, , 若若0)( xf, ,即即方方程程 称为称为二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性微分方程。线性微分方程。 91、 二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性方程解的性质线性方程解的性质回顾回顾一阶齐次线性一阶齐次线性方程方程0)( yxPy ( (1 1) ) 1 1、方程、方程(1)(1)的任意两个解的任意两个解的的和仍是和仍是(1)(1)的解；的解；2 2

6、、方程、方程(1)(1)的任意一个解的常数倍仍是的任意一个解的常数倍仍是(1)(1)的解；的解；101、二阶常系数、二阶常系数齐次齐次线性方程解的性质线性方程解的性质1 1、方程、方程(2)的任意两个解的任意两个解的的和仍是和仍是(2)的解；的解；2 2、方程、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；的解；如如果果)(),(21xyxy是是方方程程(2)的的两两个个解解, ,则则 )()(2211xyCxyCy 也是也是(2)的解的解. .常常数数如如果果 )()(21 xyxy( (称称线性无关线性无关),),则上式为则上式为(2)的的通解通解. .定理定理1

7、10 byyay(2)112、二阶常系数、二阶常系数齐次齐次线性方程的线性方程的解法解法下下面面来来寻寻找找方方程程(2)的的形形如如 xy e 的的特特解解. . 将将xy e 代代入入方方程程(2), ,得得 0e)(2 xba , , 而而0e x , ,于是有于是有 代数方程代数方程(3)称为微分方程称为微分方程(2)的的特征方程特征方程, ,它的它的根称为根称为特征根特征根( (或或特征值特征值).). (3)02 ba 0 byyay(2)12若若0 , , 则则特特征征方方程程(3)有有两两个个相相异异的的实实根根 22,1 a , , 得得到到方方程程(2)的的两两个个特特解解

8、xy1e1 , ,xy2e2 , , 而而Cxyxyx )(2121e)(/ )( , , 记记 ba42 , , 故它们线性无关故它们线性无关, , 因此因此(2)的通解为的通解为 xxCCy21ee21 (3)02 ba 情形情形1 1 13若若 0 , , 则则特特征征方方程程(3)有有两两个个相相等等的的实实根根 只只得得到到方方程程(2)的的一一个个特特解解 xy1e1 , , 设设)(/12xuyy , , 即即xxuy1e)(2 , , 代代入入方方程程(2), ,并并约约去去 x1e , ,得得 因因为为1 是是方方程程02 ba 的的二二重重根根, , 故故有有0121 ba

9、 , ,021 a , , 0 u, , 取取特特解解 xu , , 即即得得xxy1e2 , , 于于是是(2)的的通通解解为为 xxCCy1e)(21 . . 情形情形2 2 ,22, 1a 2y, ,使使 12/ yy常常数数. . 需要求另一个特解需要求另一个特解,0)()2(1211 ubauau 14若若 0 , , 则特征方程则特征方程(3)有一对共轭复根有一对共轭复根 情形情形3 3 i 2, 1可以证明可以证明, ,cose1xyx xyx sine2 是是(2)的解，的解，且线性无关，且线性无关，所以方程所以方程(2)的通解为的通解为 )sincos(e21xCxCyx 1

10、502 ba 0 byyay小结小结 特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式 21rr 21rr ir 2, 1实根实根实根实根复根复根xrxrCCy21ee21 xrxCCy1e)(21 )sincos(e21xCxCyx 16解解特征方程为特征方程为故所求通解为故所求通解为求求微微分分方方程程032 yyy的的通通解解. . 例例1 1例例2 2.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为0522 解得解得,2121i ， 故所求通解为故所求通解为)2sin2cos(e21xCxCyx 0322 xxCCy321ee 3, 121 特征根为特征根为17解解特征

11、方程为特征方程为故通解为故通解为求求微微分分方方程程0dd2dd22 ststs满满足足初初始始条条件件 2)0(, 4)0( ss的的特特解解. . 22 C, , 所所以以所所求求特特解解为为 tts e)24(. . 例例3 30122 121 特征根为特征根为ttCCs e)(21,4)0(1 Cs,e)(212ttCCCs ,2)0( 12 CCs18对应齐次方程对应齐次方程3、二阶常系数、二阶常系数非齐次非齐次线性方程解的性质及求解法线性方程解的性质及求解法(1)(xfbyyay 0 byyay(2)1 1、方程方程(1)的任意一个解加上方程的任意一个解加上方程(2)的任意一个的任