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1、第第2章章 微型计算机控制理论基础微型计算机控制理论基础计算机控制系统是计算机技术与经典、现代自动控制系统技术相结合，将连续信号转变为离散信号进行处理连续信号转变为离散信号进行处理，实现控制而产生的新技术领域，其理论以连续系统数学为背景，离散系统数学为核心。连续系统：拉普拉斯变换，传递函数离散系统：Z变换，脉冲传递函数22.2 离散系统数学基础离散系统数学基础 离散系统亦称采样控制系统，是一种动态系统，在这种系统中，有一个或多个变量仅在离散的瞬时变化，这些瞬时时刻以 或 表示。 离散系统与连续系统的区别在于离散系统的信号或数据是采样形式。kT(0,1,2,)kt k 图2-11 单位脉冲序列0
2、 Te*(t) 图2-10 采样开关Te (t)e (t)e*(t)载波信号(a)(b)( )()TttkT载波器脉冲调制器( )()TttkT2.2.1 离散时间信号与采样信号的表示离散时间信号与采样信号的表示1. 采样过程及数学描述采样过程可以视为信号调制过程，即连续信号经过采样开关后变为断续信号，如图2-10所示。 3 离散信号是对连续信号进行采样而得到的离散脉冲序列。由于采样方式的不同，得到的采样离散信号差别很大，目前所用到的采样形式有：(1) 周期采样：即tk=kT (k=0, 1, 2, )，最普高的采样形式。(2) 多阶采样，根据被测参数的动态变化快慢的不同，实行对不同变化速率的
3、采样信号进行不同周期的采样。(3) 随机采样，根据控制系统特殊需要而随机地进行采样，各采样点之间的时间间隔是不同的。为了简化分析，对采样过程做如下三点假设：1） 采样开关的动作是瞬间完成的；2） 采样开关闭合的时间远小于采样周期；3） 采样为等周期采样。42.3 采样周期的一般选择方法采样周期的一般选择方法2.3.1 香浓（香浓（Shannon）采样定理）采样定理( )f tmaxmaxmax2f( )f t*( )ft( )f t*( )ftmax2smaxmax12sTf2=ssT设连续信号的频带为有限宽度，且信号的最高角频率为（或最高频率为），如果以采样角频率对信号采样得到离散信号，则连
4、续信号可以由无失真地复现出来的条件是，或香农采样定理说明为了使得连续信号经采样保持后能不失真地不失真地复现复现出来应满足对最高频率范围内的任一连续信号在一个周期内的采样不少于两次两次。 。 s52.3.2 采样周期的选择采样周期的选择采样周期的选择受多方面因素的影响,主要考虑的因素分析如下 （1）香农采样定理给出了采样周期的上限，即为被采样信号的上限角频率。若满足香农采样定理，采样信号可恢复或近似地恢复为原模拟信号，而不丢失主要信息。在这个限制范围内，采样周期越小，采样-数字控制系统的性能越接近于连续-时间控制系统。 （2）闭环系统对给定信号的跟踪，要求采样周期要小。 （3）从抑制扰动的要求来
5、说，采样周期应该选择得小些。 （4）从执行元件的要求来看，有时要求输入控制信号要保持一定的宽度。 （5）从计算机精度考虑，采样周期不宜过短。 （6）从系统成本上考虑，希望采样周期越长越好。 综合上述各因素，选择采样周期，应在满足控制系统的性能应在满足控制系统的性能要求的条件下，尽可能地选择低的采样速率要求的条件下，尽可能地选择低的采样速率。 1. 以复现连续信号精度复现连续信号精度要求选择采样周期 设N为一个周期内对信号的采样次数 保持器的复现信号的误差与采样频率或采样次数有关，N越大，采样保持误差越小。2. 根据被控参数的性质被控参数的性质选择采样周期被控量流量液位压力温度位置电流环速度环采
6、样周期15s68s310s1020s1050ms15ms520ms3. 根据输出信号呈现的形式输出信号呈现的形式选择采样周期六种选择采样周期的经验：六种选择采样周期的经验：74. 根据被控对象的时间常数被控对象的时间常数选择采样周期 设被控对象由多个环节组成，其传递函数可以表示为 2222121122( )( )(1)(1)()()mN sG ssT sT sss采样周期不超过环节中最小时间常数的最小时间常数的1/2121212110.5 min,sTT T 而实际应用时通常选择采样周期为其最大采样周期的1/2，即有 12121211=0.50.25 min ,ssmaxTTT T 85. 以
7、相角稳定裕度相角稳定裕度选择采样周期=5 15=5 152180csT（）（）1=0 0.5scT（ .17）c为系统的闭环截止频率。 6. 以控制算法控制算法选择采样周期使用PI算法和使用PID算法在选择采样周期时存在明显的差异。0.1 0.3siTT0.2 0.6sdNTTsT 表示指定频率处的相角，由零阶保持器引起的相角裕度约减少 。2csT5 15若允许的相角裕度减少量为 ，则9 2.1 连续系统数学基础 211 拉普拉斯变换 用表示时间的函数，而且当 ， ，以 表示 的拉普拉斯变换，记之为 0( )( ) ( )stF sL f tedt f tdtetfst0)(复变量 s对时域函
8、数进行拉氏变换 拉氏积分 是 的原函数， 是 的象函数。 ()f t( )F s()f t( )F s0t ( )0f t ( )F s()f t2. 拉普拉斯变换的性质)()()3()()()2()()()()()1(2121sFetfLsAFtAfLsFsFtftfLs线性 （位移性质）11 t0令0)(tf则, 当 tdtetfsFtfLst0)()()(令 ttddt )()()(0sFedeefsFsss0t f (t)图2-1 平移性质曲线示意 f (t)t()f t 12（3）相似性质（比例变换） 00)(atdeatfadteatfasaFatfLatasstatt 令ass
9、)()()(0asaFsaFtdetfats则13（4）微分性质(原函数导数的象函数) )0()()(fssFdttdfLf(0)为t=0时f(t)的值，一般控制系统中f(0)=0 000000)0()()()0()()()0()()()()()(fssFdtetfsfdtsetffdtsetftfetdfedtedttdfstststststst同样，对于的阶导数，可以得到1(2 )(1)( )( )(0)(0)(0)nnnnnndLf ts F ssfsffdt14（5）积分性质(原函数导数的象函数) )0()()(fssFdttdfLf(0)为t=0时f(t)的值，一般控制系统中f(0)
10、=0 000000)0()()()0()()()0()()()()()(fssFdtetfsfdtsetffdtsetftfetdfedtedttdfstststststst15(6)初值定理 其中f(0),F(s)可拉, 存在 证明：由拉普拉斯变换的微分性质可知(0)lim( )sfsF slim( )ssFs 0()()( 0 )s td fted ts Fsfd t0( )lim0lim( )(0)stssdf tedtsF sfdt(0)lim( )sfsF s有(7)终值定理0( )lim ( )lim( )tsff tsF s 证明自阅3. 拉普拉斯反变换 由复变函数表达式推导成为
11、时间函数表达式的数学运算叫做反变换，拉普拉斯反变换的符号是 ，记作1L1( )( )LF sf t具体的拉普拉斯反变换计算公式为1( )( )(0)2cjstcjf tF s e dstj 17212 传递函数与方块图1传递函数 传递函数是描述线性定常系统或线性元件的输入-输出关系的一种最常用的数学模型。 传递函数全面地反应了线性定常系统或线性元件的内在固有特性。 传递函数(G(s)：线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为0，输出量（响应函数）的拉氏变换与输入函数（量）拉氏变换之比。 )()()(sXsYsG)()()(sXsGsY 传递函数的定义适用于输入输出信号呈线性关系的元件或系统，既
12、适用于开环系统，也适用于闭环系统。 传递函数的形式完全取决于系统或元件自身的结构与参数，而与外加的输入信号形式无关。 18 传递函数有如下基本性质 （1）系统和元件的传递函数是描述其动态特性的一种关系式，它和系统或元件的运动方程式一一对应。 （2）传递函数表征系统或元件本身的特性，而与输入信号无关。 （3）传递函数不能反映系统或元件的物理结构，即不同物理性质的系统或元件可以具有相同的传递函数。 （4）传递函数是复变量的有理分式，均为多项式，每一项的系数都是实数。 192方块图 方块图是系统中每个元件的功能和信号流向的图解表示，它表明系统中各元件或各环节间的相互关系，信号流动情况。 方块图输出信
13、号的拉普拉斯变换式等于其输入信号的拉普拉斯变换式与方块内传递函数的乘积。 信号通过方块的流向以箭头来表示，使输入信号的箭头指向方块，输出信号的箭头背向方块。 方块图中只包含与系统动态性能有关的信息，并不包含与系统物理结构有关的一切信息。 许多物理结构上完全不同的系统，可以用相同的方块图来表示。 G（s）X（s）Y（s）图2-2 传递函数方块图203.典型系统的方块图与传递函数 1)开环控制系统方块图与传递函数开环控制系统的抽象结构包含控制、执行与对象三个环节，方块图结构见图2-3。 控制G1(s)执行G2(s)对象G3(s)R(s)Y（s）图2-3 开环控制系统方块图)()()()()()(3
14、21sGsGsGsRsYsG对应的传递函数21 2)闭环控制系统方块图与传递函数闭环控制系统的抽象结构由执行(含对象)、反馈及偏差计算（ 符号表示）等环节构成，方块图结构见图2-4所示。 执行G(s)反馈H(s)R (s)Y (s)E (s)B (s)图2.4 闭环控制系统方块图( )( )( ) ( )B sG s H s E s( )( )( )( )B sH s G sE s称为系统中的开环传递函数。 ( )( ) ( )( )( )( )Y sG s E sG s R sB s( ) ( )( )( ) ( )G sR sG s H s E s( )( )( )( )G sR sHs
15、Y s( )1( )( )( ) ( )Y sG s H sG s R s闭环控制系统的传递函数为( )( )( )( )1( ) ( )Y sG ssR sH s G s22G1(s)G2(s)H(s)Y(s)N(s)R(S)扰动212212121221221212111)()()(1)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(GHGNGGHGGRGsGsGsHsGsNsGsGsRsYsGsNsGsGsHsYsGsGsRsGsNsGsHsYsRsY3）含扰动量的闭环控制系统方块图与传递函数当121GHG；扰动项0;扰动被抑制； 及 1)()(1sG
16、sH此时控制系统的传递函数 )(1)()()(sHsRsYsG23 例2.1：如图所示，R,C低通网络 idtciRUUULCRI1I (s)UI (s)(b)Uc(s)图2-6 RC电路方块图(c)(a)Ui (s)CiR)(sUc1RCsR11CsUi (s)1( )( )( )( )1( )( )CICiCUsI sCsUsUsRCsUsUsRCsRCs( )1( )(1)iCUsUsRCsRCs1()1()1()11CiUsR C sGsUsR C sR C s244方块图等效法则 1) 分支点移动规则GGGAAGAGAAGAG（a）AGGGAAGAAAG（b）图2-7 分支移动规则2
17、5（2）相加点移动规则 GGGBAABAGBGAGBG（a）GGBAABAGBAGB（b）图2-8 相加点移动规则G1根据代数运算法则，还可实现其它类型方块图的简化或等效，相关内容请参阅自动控制方面的专业书籍。在简化或等效处理过程中应注意两条原则(1)前向通道中传递函数的乘积必须不变。(2)各反馈回路中传递函数的乘积必须保持不变。26例2.2 (1)进行拉普拉斯变换；（2）画方块图； STKSTKKsEsUsSETKsESTKsEKsUdPIPPdPIPP)()()()()()( KPKPTIS KPTdSE(S)U(S)+dffdeTKdffeTKfeKfUdPIPP)()()()(tttt
18、tt27213 线性定常系统的脉冲响应线性定常系统的脉冲响应 线性定常系统的脉冲响应是指线性定常系统在稳定的前提下在输入端加入理想单位脉冲信号得到的输出响应。 假定系统的传递函数为 ( )( )( )Y sG sXs( )( )( )Y sG s X s于是如果()( )1XsLt则有1( )()g tLGs( )g t称为单位脉冲响应函数 ( )t称为理想单位脉冲信号 例例 2.3 假设某二阶系统的传递函数为12( )(2)(8)G sss,则111281222( ) ( )=28(2)(8)28ttg tL G sLLeessss2.2 离散系统数学基础离散系统亦称采样控制系统，是一种动态
19、系统，在这种系统中，有一个或多个变量仅在离散的瞬时变化，这些瞬时时刻以 或 表示。离散系统与连续系统的区别在于离散系统的信号或数据是采样形式。2.2.1 离散时间信号与采样信号的表示离散时间信号与采样信号的表示1. 采样过程及数学描述采样过程可以视为信号调制过程，即连续信号经过采样开关后变为断续信号,如图2-10所示。 ( )()TttkTkT(0,1,2,)kt k e*(t) 图2-10 采样开关Te (t)e (t)e*(t)载波信号(a)(b)( )()TttkT图2-11 单位脉冲序列0 T载波器脉冲调制器为了简化分析，对采样过程做如下三点假设：1） 采样开关的动作是瞬间完成的；2）
20、 采样开关闭合的时间远小于采样周期；3） 采样为等周期采样。292.2.2 差分与差商1.差分的概念设函数 在等距节点 上的值为 ，函数 在自变量两个离散值处函数值的差 ()y f x0(0,1,2,3,)kxxkh k()kkyf x(0,1,2,3,)k ( )f x+1+1=()()kkkkkyyyf xf x11=()()kkkkkyyyf xf x或f(x)在xk处一皆前向差分f(x)在xk处一皆后向差分类似有二阶前向差分 2+1+2+1+1+2+1+2+1=()2()2()()kkkkkkkkkkkkkkyyyyyyyyyyyfxfxfx 类似有二阶后向差分 211121212=(
21、)2()2()()kkkkkkkkkkkkkkyyyyyyyyyyyf xf xf x 阶前向、后向差分定义公式可类推。302. 差商的概念 称比值120110120,nnnnf x xxf xxxf xx xxxxn=1为1阶差商,n=k为k阶差商.xk为节点.利用差商的定义，差商的计算可以递推进行，列差商表如表2-1所示.2.2.3 Z变换变换Z变换是应用于线性定常离散系统的重要数学工具，它的作用等同于线性定常连续系统的拉普拉斯变换数学工具。 信号采样方式有周期采样 、多阶采样 、随机采样。周期采样是一种最普通的采样方式，其采样瞬时是等间隔。 Z变换是针对周期采样信号进行拉氏变换后的简化变
22、量处理关系的一种数学方法。311. Z变换的定义 对于连续信号的周期采样时间序列信号可表示为*0( )=( ) ()kxtx ttkT*0( ) =()()kxtxk Ttk T或对以上两式两边取拉普拉斯变换，得*00()( )=( )()stkXsLxtx ttk Ted t00=( ) ()stkx ttkT edt00=()()stkx kTtkTedt ()00=()()ksTs tkTkx kT etkT edt0=()()k s Tsk Tkxk Teed0=()k s Tkxk Te32sTze令1lnszT或则有 *01( )( )(ln)=()kkXzXsXzx kT zT在
23、z变换中，我们只考虑采样瞬时的信号值，因此，X（t）的z变换与X*（t）的z变换具有相同的结果，即*( ) =( ) = ( )Z x tZ x tX z0=()kkxk Tz2. Z变换的性质1 1221122( )( )( )( )Z a f ta f ta F za F z1） 线性性质 2） 滞后性质( -)( )nZf t nTzF z3）超前性质10( +)( )-()knmmZf tnTzF zfmTz4） 复位移定理 ( )()ataTZft eFze 335）初值定理6）终值定理 7)卷积定理1( )lim()lim( )lim1( )ntzff nTf tzF z (0)l
24、im( )zfF z*12122100( )*( ) =()()()()kkZf tftZf kT ftkTZfkT ftkT1221( )( )( )( )F z F zF z F z343. Z反变换的定义 Z变换的定义可知，连续时间函数的Z变换函数仅仅包含了连续时间函数在各个采样时刻上的数值。 Z反变换仅能求出连续时间函数在采样时刻的数值 (f(k),k=1,2,3,.) . 或者说一个Z变换函数F(Z)可以与无穷多个连续函数对应（只要这些函数f(k)在采样时刻上的函数值相等） 4. Z反变换的求法 1）幂级数法 例例2.5 求 的Z反变换，写出前五项。 解： 于是 *1=()ftZFz
25、（ ）010( )()(0)( )()kkkF zf kT zfzf T zf kT z2 (1)( )=(2)(4)z zFzzz201234222( )=210441847526 +8zzF zzzzzzzz*1( ) ( )=2 ( ) 10 ()44 (2 ) 184 (3 )752 (4 )ftZF zttTtTtTtT352）部分分式法 部分分式法是将关于复变量的有理分式函数F(Z)分解成最简单的分式形式，然后通过查Z变换对照表而求得各个简单因子的反Z变换，从而求得F(Z)的反Z变换表示式。111( )( )=()()() ()()pqN zF zzjzjzzz111111111(
26、 )=()()()()()()pqpqccc z cccF zzjzjzzzz 式中 ，为待定系数。 1111pqcccccc， ， ， ， ， ，（1）共轭复根对应系数的确定 ( )()()=zjzjF z zjzjc zc （2）重根对应系数的确定11111111( )(),1,2,(1)!ipiizdcF zzipidz（3）单根对应系数的确定()(),1, 2 ,iiizcFzziq 36例例2.6 设 ,试用部分分式法求 解 将部分分式中的每一项乘上因子后，得2(1)()=(2 )(4 )zzFzzz()f kT( )2(1)13=(2)(4)24Fzzzzzzz3()24zzFzz
27、z查Z变换对照表可得 1132 ,3424kkzzZZzz 最后可得()( )2340,1,2,3,kkf kTZ F zk ，3）反演积分法(留数法 )120( )()(0)( )(2 )()kkkF zf kT zff T zfT zf kT z1kz用同乘上式两边，得 1kz112312( )(0)( )(2 )()(1)+kkkkF z zfzf T zf T zf kT zf kT z37两边 得 11212( )(0)( )()(1)kkkF z zdzfzdzf T zdzf kT z dzfkT z dz注意到()f kT是一个具体的数值，且 0,121()kkdzjkza，0
28、a 11( )()=2()kF z zdzf kTz dzjf kT在上式中，所以有离散函数的Z反变换可表示为111()( )( )2kfkTZFzFz zdzj可根据( )F z所具有根的分布情况分别计算其相应的留数。（1）根据单根1111()=( )=( )iiqqkkizziifkTResF z zzF z z 12,q（2）根据p个重根1 111111111()()( )(1)!ppkpzdf kTzF z zpdz38（1）根据单、重根1111111111()=( )()( )(1)!ipqkpkipzzidf kTzF z zzF z zpdz 例例2.7 求222()(+1)(2
29、)zzFzzz的Z反变换( )F z1z 2z 解 由的分母可知，存在单根及二重根2 11212 1121()=1( )(2)( )(21)!kkzzdf kTzF z zzF z zdz1121222=(2 )1kkkkzzzzdzzzd zz 1122(1)2121=(1)91kkkkkzkzkzzzzz1611=( 1)2( 1)61 20999kkkkkkk395. 利用Z变换求解差分方程 根据Z变换的超前定理，有10()( )()nnmmZ c nkzC zc m z例例2.8 用Z变换求解三阶差分方程(3)6 (2)11 (1)6 ( )0(2)0,(1)1,(0)0c kc kc
30、 kc kccc解 对上面差分方程两边进行Z变换，并利用Z变换的超前定理有33222( )(0)(1)(2)6( )(0)(1)11( )(0)6 ( )0z C zz cz czcz C zz czczC zzcC z将初始条件代入并化简、整理得2132+6(6)( )=6116(3)(2)(1)zzz zC zzzzzzz312( )(6)=123(1)(2)(3)kkkC zzzzzzzzz111222333( )(6)5= lim (z+1)= lim(2)(3)2( )(6)= lim (z+2)= lim4(1)(3)( )(6)3= lim (z+3)= lim(1)(2)2zz
31、zzzzC zzkzzzC zzkzzzC zzkzzz 于是有543( )=+21223zzzC zzzz查阅Z反变换对照表，有 53( )( 1)4( 2) +( 3)(0,1,2,3,)22kkkc kk402.2.4 离散系统传递函数 1. 脉冲传递函数的定义G(s)R (s)c (t)图2-14 线性系统输出信号与输入信号Z变换的关系C (s)TTr (t)G(z)在理想脉冲串的作用下，输出的拉斯变换为 0( )( )()kTskCsG sr kTe。在零初始条件下，线性系统（或环节）输出脉冲序列的Z变换与输入脉冲序列的Z变换之比，称为系统（或环节）的脉冲传递函数（或z传递函数），即
32、)()()(zRzCzG。R (s)R *(s)G (z)(1zG)(2zG)(1sG)(2sGX (s)X *(s)C (s)C *(s)TTR (Z )D (z)C (z)而采样系统的离散输出 )()()()(11*zRzGZzCZtc41单位脉冲响应来推导脉冲传递函数 当输入信号为如下的脉冲序列时 0)()()(*nnTtnTrtr根据叠加原理，输出信号为一系列脉冲响应之和，即 )()()()()()0()(nTtgnTrTtgTrtgrtc kTt )()() 1()()() 0 ()(TnkgnTrTkgTrkTgrkTc knnTrTnkg0)()(在时刻，输出的脉冲值为 )(kT
33、c0)()(nnTrTnkg )()()(zRzGzC)(zC)(zG)(zR根据卷积定理，可得上式的Z变换为 和分别为c(t)g(t)和r(t)的Z变换。422 开环系统的脉冲传递函数1）串联环节之间有采样开关设开环离散系统如图2-15（a）所示，在两个串联连续环节和之间，有理想采样开关隔开。开环系统脉冲传递函数 )()()()()(21zGzGzRzCzG2) 串联环节之间无采样开关设开环离散系统如图2-15（b）所示， )()()()(21zGGzRzCzG没有理想采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉冲传递函数，等于这两个环节传递函数乘积后的相应Z变换。这一结论同样可推广到类似的n个
34、环节相串联时的情况。 433. 闭环系统的脉冲传递函数一般地，闭环脉冲传递函数是闭环离散控制系统输出信号的Z变换与输入信号的Z变换之比，即)()()(zRzCz典型的闭环离散系统及其输出的Z变换函数如表2-2所示。 例例2.10 求图2-17所示采样系统的输出)(zC的表达式。解解 )()()()(3zGzCzRzE而 )()()()()(2121zGGzDzGGzEzD因此 )()(1)()(2121zEzGGzGGzD)()(1)()()()()()(21111zEzGGzGzGzDzGzEzC所以 )()()(1)()(1)()()(3211211zGzCzGGzGzGGzRzGzC即 )()()(1)()()(31211zGzGzGGzRzGzC
