数学模型第四版第二章--初等模型
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1、 第第二二章章 初等模型初等模型2.1 光盘的数据容量光盘的数据容量2.2 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效2.3 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩2.4 实物交换实物交换2.5 污水均流池的设计污水均流池的设计2.6 交通流与道路通行能力交通流与道路通行能力2.7 核军备竞赛核军备竞赛2.8 扬帆远航扬帆远航2.9 天气预报的评价天气预报的评价 研究对象的机理比较简单研究对象的机理比较简单 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的可以利用初等数学方法来构造和求解模型可以利用初等数学方法来构造和求解模型尽量采用简单的数学工具来建模尽量采用简单的数学工具来建模
2、如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.初初 等等 模模 型型2.1 光盘的数据容量光盘的数据容量背景和问题背景和问题 20世纪世纪80年代出现激光唱片年代出现激光唱片(CD)与激光视盘与激光视盘(LD), 统称统称光盘，用于储存数字声频、视频信号和计算机数据等光盘，用于储存数字声频、视频信号和计算机数据等. 20世纪世纪90年代出现数字视频光盘年代出现数字视频光盘(DVD). 21世纪初光盘集计算机、光学记录和影视技术为一体世纪初光盘集计算机、光学记录和影视技术为一体
3、, 带动了出版、广播、通信、互联网等行业的发展带动了出版、广播、通信、互联网等行业的发展. CD的数据容量的数据容量: 单层单层650MB(兆字节兆字节)DVD的数据容量的数据容量: 单层单层4.7GB(千兆字节千兆字节)从数学建模的角度研究从数学建模的角度研究 : 光盘的数据容量是光盘的数据容量是怎么确定的，在一定条件下怎样使其最大化怎么确定的，在一定条件下怎样使其最大化.调查和分析调查和分析45mm120mm2mm信道间距信道间距信道信道(螺旋线螺旋线)经过编码的数字信息，以经过编码的数字信息，以一定深度和宽度、不同长一定深度和宽度、不同长度的凹坑的形式，用烧蚀度的凹坑的形式，用烧蚀技术存
4、储在光盘表面呈螺技术存储在光盘表面呈螺旋线形状的信道上旋线形状的信道上. 当盘片上环形区域面积一定时，当盘片上环形区域面积一定时，数据容量数据容量的大小的大小取决于取决于信道的总长度信道的总长度与信道上存储数据的与信道上存储数据的线密度线密度. 决定信道长度和线密度大小的主要因素是所用决定信道长度和线密度大小的主要因素是所用激光的波长激光的波长，和，和驱动光盘的机械形式驱动光盘的机械形式.调查和分析调查和分析 当光盘运转时激光束要能识别出信道上的凹坑当光盘运转时激光束要能识别出信道上的凹坑所携带的信息，必须锐利地聚焦所携带的信息，必须锐利地聚焦. 数据容量数据容量 激光波长激光波长 驱动形式驱
5、动形式 信道长度信道长度 线密度线密度激光波长激光波长 光的衍射使激光束在光盘上形成圆状的光斑光的衍射使激光束在光盘上形成圆状的光斑. 为了提高存储数据的线密度，应该使光斑尽量小，为了提高存储数据的线密度，应该使光斑尽量小，而光斑的大小与激光波长成正比而光斑的大小与激光波长成正比. 激光器激光器激光波长激光波长（m）光斑直径光斑直径（m）信道间距信道间距（m）数据线密度数据线密度（字节（字节/mm）红外红外(CD)0.7821.6121红色红色(DVD)0.640.9250.74387蓝色蓝色(DVD)0.410.40.32800调查和分析调查和分析恒定角速度恒定角速度(CAV)驱动光盘的机械
6、形式驱动光盘的机械形式每一圈螺旋线上存储每一圈螺旋线上存储同等数量的数据信息同等数量的数据信息容量取决于最内圈的长容量取决于最内圈的长度、线密度以及总圈数度、线密度以及总圈数 各圈螺旋线上数据各圈螺旋线上数据的线密度不变的线密度不变 容量取决于固定的线容量取决于固定的线密度和螺旋线总长度密度和螺旋线总长度 恒定线速度恒定线速度(CLV )从光盘的容量比较，从光盘的容量比较，CLV优于优于CAV. 数据读取时间数据读取时间: CLV每圈转速不同，当读出磁头在内外每圈转速不同，当读出磁头在内外圈移动时，需要等待光盘加速或减速，而圈移动时，需要等待光盘加速或减速，而CAV不需要不需要. 对音乐、影像
7、、计算机文件等按顺序播放的信息，多用对音乐、影像、计算机文件等按顺序播放的信息，多用CLV;对词典、数据库、人机交互等常要随机查找的信息，多用对词典、数据库、人机交互等常要随机查找的信息，多用CAV.模型建立模型建立 CLV(恒定线速度恒定线速度)光盘光盘R1光盘环形区域内圆半径光盘环形区域内圆半径, R2 外圆半径外圆半径, d 信道间距信道间距CLVCLVLCLCLV 信道总长度信道总长度 )(2110kdRLnkCLVddRRRR)(1212dRRLCLV)(2122环形区域面积环形区域面积/信道间距信道间距 同心圆平均周长同心圆平均周长*总圈数总圈数 dRRRRLCLV121222数据
8、容量数据容量线密度线密度,(n总圈数总圈数)其他方法建模其他方法建模模型建立模型建立 CAV(恒定角速度恒定角速度)光盘光盘螺旋线最内圈的长度近似为螺旋线最内圈的长度近似为2R1, 总圈数可视为总圈数可视为dRR12 dRRRLCAV1212数据容量数据容量LCLV 信道总长度信道总长度 线密度线密度,CAVCAVLC当线密度当线密度、信道间距、信道间距d和外径和外径R2给定后，给定后， 可选择可选择环形区域的内圆半径环形区域的内圆半径R1，使数据容量最大，使数据容量最大 .模型求解模型求解 CLV(恒定线速度恒定线速度)光盘光盘激光器激光器激光波长激光波长(m)信道长度信道长度(mm)信息容
9、量信息容量, (MB)影像时间影像时间(min)红外红外(CD)0.785,611,17967918红色红色(DVD)0.6412,132,2794,695126蓝色蓝色(DVD)0.4128,055,89522,445603R2=58 mm , R1=22.5 mm dRRLCLV)(2122CD信道长度在信道长度在5km以上，容量约以上，容量约680 MB; DVD容量在容量在GB量级量级. 影像时间按照每秒钟占用影像时间按照每秒钟占用0.62 MB计算计算 .模型求解模型求解 激光器激光器激光波长激光波长 (m)信道长度信道长度 (mm)信息容量信息容量, (MB)影像时间影像时间(mi
10、n)红外红外(CD)0.783,302,59940011红色红色(DVD)0.647,140,7552,76474蓝色蓝色(DVD)0.4116,512,99613,210355CAV(恒定角速度恒定角速度)光盘光盘dRRRLCAV1212CAVCAVLCdR222即使在内圆半径的最佳选择下，即使在内圆半径的最佳选择下，CAV光盘光盘的信息容量也小于的信息容量也小于CLV光盘光盘 .R1=R2/2时时LCAV最大最大 2d墙墙室室内内 T1室室外外 T2dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2问问题题双层玻璃窗与同样多材料的单层双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失玻璃窗相比，
11、减少多少热量损失.假假设设热量传播只有传导，没有对流热量传播只有传导，没有对流.T1,T2不变，热传导过程处于稳态不变，热传导过程处于稳态.材料均匀，热传导系数为常数材料均匀，热传导系数为常数.建建模模热传导定律热传导定律dTkQQ1Q2Q 单位时间单位面积传导的热量单位时间单位面积传导的热量 T温差温差, d材料厚度材料厚度, k热传导系数热传导系数2.2 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效双层双层单单层层dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta内层玻璃的外侧温度内层玻璃的外侧温度Tb外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度k1玻璃的热
