数学分析第5章

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1、数学分析电子教案数学分析电子教案重庆邮电大学数理学院重庆邮电大学数理学院高等数学教学部高等数学教学部沈世云沈世云第五章 微分学的基本定理 及导数的应用 中值定理中值定理 泰勒公式泰勒公式 函数的单调性、凸性与极值函数的单调性、凸性与极值 平面曲线的曲率平面曲线的曲率 待定型待定型 方程的近似解方程的近似解第一节第一节 中值定理中值定理二、罗尔二、罗尔( (Rolle) )定理定理三、拉格朗日三、拉格朗日( (Lagrange) )中值定理中值定理四、柯西四、柯西( (Cauchy) )中值定理中值定理一、费尔马一、费尔马(Fermat)(Fermat)定理定理一、费尔马一、费尔马( Ferma

2、t )定理定理内内有有定定义义，点点的的某某领领域域在在若若),()()(00 xOxxfi恒恒有有且且),(0 xOx )()(0 xfxf);()(0 xfxf或或者者0( )( )iifxx在点 可 导 ，0()0 .fx则 有注注1.)(,0)(00的的为为函函数数则则称称若若xfxxf 驻驻点点定定理理的的几几何何意意义义：Fermatxyo水平切线P0 x)(xfy 注注2.2.)(,()(000轴轴则则该该切切线线平平行行于于点点存存在在切切线线，在在局局部部极极大大（小小）值值，且且取取在在若若曲曲线线xxfxxxfy , 0 x若若; 0)()(00 xxfxxf则有则有,

3、0 x若若; 0)()(00 xxfxxf则有则有; 0)()(lim)()(00000 xxfxxfxfxfx ; 0)()(lim)()(00000 xxfxxfxfxfx . 0)(0 xf便便得得到到再再由由极极限限的的保保号号性性可可导导的的条条件件在在根根据据,)(0 xxf证明证明).()(,),(00 xfxfxUx 时时不不妨妨设设 有有于于是是，对对于于),(00 xUxx ,0)()(00 xfxxf 2. 罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理 则在则在 (a,b) 内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 f ( ) =0 .设函数设函数 f (x) 满足条件：满足条件：1

4、) 在在闭闭区间区间 a,b上连续上连续.2) 在在开开区间区间(a,b)内可导内可导.3) f (a) = f (b)证证.)1(mM 若若,)(连连续续在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 则则. 0)( xf由由此此得得),(ba . 0)( f都都有有.)2(mM 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内内至至少少存存在在一一点点则则在在),()( fxf则由费尔马定理则由费尔马定理,在在 (a,b) 内至少存在一点内至少存在一点 ，使使 f ( ) =0 .物理解释物理解释

5、: :变速直线运动在折返点处变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零瞬时速度等于零.几何解释几何解释: :ab1 2 xyo)(xfy .,)(水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一则弧则弧等等处纵坐标相处纵坐标相、在点在点连续光滑曲线连续光滑曲线CABBAxfy C注意注意: 罗尔定理的三个条件是充分的，但不是必要的. 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立也可能成立结论可能不成立也可能成立.例如例如, 1 , 0,)(xxxf. 0)(,) 10(),3 1 , 0ff使得不存在点内，在件上不满足罗尔定理的条在注

6、意注意: 罗尔定理的三个条件罗尔定理的三个条件,若有一个不满足若有一个不满足,其其结论也可能成立结论也可能成立.例如例如,0, 1, 0(,sin)(xxxxf., 0)2(),0(2,31, 0即罗尔定理的结论成立有，但存在点）、件上不满足罗尔定理的条在fff (x)满足条件(2), (3),但不满足条件(1), 在(0, 1)内,21)( xf例如例如: (i)y=f (x)=121x1 , x = 1, x0, 1) 图3-1-2 x y01123. 0)(,) 10(f使得内不存在点，在1 , 1 |)(xxxfyf (x)在-1, 1上,满足条件(1), (3),但不满足条件(2),

7、当 x 时, f (x)= 1. x 时, f (x)= 1. x=0时, f (0)不存在. (ii)0 x y111图3-1-3y = |x|. 0)(,) 11(f使得内不存在点，在(iii) y=f (x)=x, x1, 2, f (x)在1, 2上满足条件(1), (2),但不满足条件(3),在(1, 2)内, f (x)=1. 02112xy图3-1-4y=x . 0)(,)21 (f使得内不存在点，在例例1 1.)1 , 0(23423内内至至少少有有一一个个实实根根在在证证明明方方程程cbacxbxax 证证,)()(234xcbacxbxaxxf 设设,1 , 0)(连续连续

8、在在则则xf. 0)1()0( ff且且由由Rolle定理知定理知. 0)(),1 , 0(00 xfx使使,)1 , 0()(可导可导在在xf 即为方程在即为方程在 内内 的实根的实根.)1 , 0(0 x说明说明: : 证明证明 在在 内有根用内有根用零点零点定理定理. .0)( xf),(ba证明证明 在在 内有根用内有根用罗尔罗尔定理定理. .0)( xf),(ba二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理).()(:bfaf 去去掉掉了了与与罗罗尔尔定定理理相相比比条条件件中中注注意意).()()( fabafbf 结论亦可写成结论亦可写成则在则在 (a,b) 内至

9、少存在一点内至少存在一点 ，使，使 f (b) f (a) = f ( )(b a) ( (a,b) . 设函数设函数 f (x) 满足条件：满足条件：1) 在在闭闭区间区间 a,b上连续上连续.2) 在在开开区间区间(a,b)内可导内可导.ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧证明证明分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦AB方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf减去弦减去弦曲线曲线., 两端点的函数值相等

10、两端点的函数值相等所得曲线所得曲线ba作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xF. 0)(,),( Fba使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 故有故有拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.证明证明,),()(内可导内可导在在在在设设baxf).10()()()(000 xxx

11、fxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可写写成成.的的精精确确表表达达式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推论推论2( )( ),( )( ).Ifxg xIf xg xC如果 在区间上恒成立则 在区间上有 证明证明 12,.xx 的任意性，即得结论推论推论11212,x xIxx任取且应用拉氏公式，得到212112()( )( )() ()f xf xfxxxx在 与 之间21( )0()(),ff xf x由条件知