晋级课《证明不等式的基本方法一比较法》

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1、证明不等式的基本方法第二讲,|,.,.xaxa前面已经学习了一些证明不等式的方法我们知道 关于数的大小的基本事实、不等式的基本性质、基本不等式以及绝对值不等式和的解集的规律等都可以作为证明不等式的出发点本讲中我们进一步学习证明不等式的基本方法比较法比较法一一学习目标1、理解并掌握证明不等式的基本方法-比较法比较法;2、熟悉并掌握比较法证明不等式的基本步骤：作差（商）-变形-判断-结论.重、难点重点：求差比较法证明不等式。难点：求差、商后，如何对“差式”“商式”进行适当变形，并判断符号。复习回顾 初中时候，我们学习了比较两实数大小的方法，其主要依据是实数运算的符号法则，首先，我们作一简要的复习.

2、 利用上述等价形式，也可证明不等式，,0,0,0.a bRabababababab则,.,a kgb kgam kgbamaambmbbm如果用白糖制出糖溶液 则其浓度为若在上述溶液中再添加白糖 此时溶液的浓度为比较与的大小。新知探究新知探究1 1、作差比较法的依据：、作差比较法的依据： （实数的运算性质）（实数的运算性质）0aba b 0a ba b 步骤：作差步骤：作差变形（化简）变形（化简）定号定号下结论下结论 （差值差值 的符号的符号）0a ba b 作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解（分式通分、无理式有理化等）后，常是因式分解

3、（分式通分、无理式有理化等）后，把差写成积的形式或配成完全平方式。把差写成积的形式或配成完全平方式。.,22331abbabababa 求证求证且且都是正数都是正数已知已知例例,.分析:可以把不等式两边相减 通过适当的恒等变形 转化为一个能够明确确定正负的代数式 32232233babbaaabbaba 证明典型例题.,0 baba所以都是正数因为 .,02 baba所以又因为 .,0022332 abbabababa即于是.2233abbaba 所以 baba 22 2baba babbaa 22练习 设 ,求证：（1） （2）证明：（1） （2）xR2314xx 2514xx22223(1

4、)4141()20314xxxxxxx 22225(1)41()41()20514xxxxxxx 2、作商比较法的原理及步骤：,112131abRaabbaabbaabb若，则（）（）（）步骤：作商步骤：作商变形（化简）变形（化简）判断判断得出结论得出结论 （商值与实数商值与实数1 1的大小关系的大小关系）,0,1.除了把不等式两边相减 通过比较差与的大小来证明不等式外 有时也通过把不等式两边相除 转化为证明所得的商式与的大小关系1,aaba bb比商法要注意使用条件，若不能推出。要注意的符号。2,.abbaa ba ba bab例已知是正数 求证当且仅当时 等号成立,.,1.a b分析由于是

5、正数 所以不等式两边都是正数 由于要证的不等式两边都是指数形式 把它们相除并考察商式与的大小关系比较方便得将不等式两边相除证明,abbaabbabababa .baba 于是不妨设不等式不变的位置交换点根据要证的不等式的特,),(0 baba.,01 baba当且仅当所以, 1 baba.,等号成立时ba .,等号成立时当且仅当所以bababaabba 练习 220,()a bbaababa b已知求证：222222()022()( )010( )( )1()a ba ba ba bba bababaa bb aa ba ba ba ba bbaabababa ba baababbabaabbaabbaba b 证明：又且作差（商）法的一般步骤 作差（商）-变形-判断-结论.作差法和作商法的区别 作差法与0比较大小，作商法与1比较大小。比较法是证明不等式的基本方法,也是最重要的方法.习题2.1课外作业P231、2、3、4