材料力学 弯曲内力

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1、第四章第四章 弯曲内力弯曲内力第一节第一节 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图第二节第二节 梁的剪力与弯矩梁的剪力与弯矩第三节第三节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图 第四节第四节 弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用第五节第五节 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图一一、弯曲的概念、弯曲的概念 1、弯曲、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成为曲线的变形形式。为曲线的变形形式。 2、梁、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件

2、主要承受垂直于轴线荷载的杆件 轴线是直线的称为轴线是直线的称为直梁直梁，轴线是曲线的称为，轴线是曲线的称为曲梁曲梁。 有对称平面的梁称为有对称平面的梁称为对称梁对称梁，没有对称平面的梁称为，没有对称平面的梁称为非对称梁非对称梁 3、平面弯曲（对称弯曲）、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。 4、非对称弯曲、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。并不作用在纵

3、向对称面内的弯曲。弯曲的概念及梁的计算简图弯曲的概念及梁的计算简图FFsFAFB纵向对称面纵向对称面二、二、 梁的荷载及计算简图梁的荷载及计算简图 研究对象研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系。面力系。 1.梁的梁的计算简图计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。线上。 2.梁的支座简化梁的支座简化(平面力系平面力系)：a)活动铰支座活动铰支座b)固定铰支座固定铰支座c)固定端固定端RFRyFRxFRyFRxFRM 3.静定梁静定梁仅用静力平衡方程即可求得反力的梁仅用静力平衡方程即可求得反力

4、的梁(a)悬臂梁悬臂梁(b)简支梁简支梁(c)外伸梁外伸梁 4.作用在梁上的荷载可分为作用在梁上的荷载可分为:(a)集中荷载集中荷载F1集中力集中力M集中力偶集中力偶(b)分布荷载分布荷载q(x)任意分布荷载任意分布荷载q均布荷载均布荷载梁的剪力与弯矩梁的剪力与弯矩一一、截面法求内力：、截面法求内力：切取、替代、平衡切取、替代、平衡FABabASSAy0:0FFFFFbFMbFMMAAC0:0bAFSFMCFSFMBFCABSBSy0:0FFFFFFFFbFblFbFMblFbFMMABBC0:0 剪力剪力平行于横截面的内力，符号：，正负号规定：使平行于横截面的内力，符号：，正负号规定：使梁有

5、左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负(左截面上的剪左截面上的剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正力向上为正，右截面上的剪力向下为正)； MMMMFSFSFSFS 弯矩弯矩绕截面转动的内力，符号：绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使，正负号规定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压下拉的弯矩梁上压下拉的弯矩为正为正)。剪力为正剪力为正剪力为负剪力为负弯矩为正弯矩为正弯矩为负弯矩为负二、平面弯曲梁横截面上的内力：二、平面弯曲梁横截面上的内力：剪力符号规定：剪力符号规定：弯矩符号规定：弯矩符号规定：左上右下为

6、正左上右下为正下侧受拉下侧受拉(上凹下凸、左顺右逆上凹下凸、左顺右逆)为正为正或使该段梁顺或使该段梁顺时针转动为正时针转动为正MMMMFsFsFsFs对未知的剪力、弯矩按正方向设定对未知的剪力、弯矩按正方向设定求图示梁求图示梁1-11-1、2-22-2、3-33-3、4-44-4截面上的截面上的剪力和弯矩剪力和弯矩.例例1BAP=q11223344q解：由得MB0RqaA54由得MA0RqaB74MRaqaA1254M2MRaqa aqaA322322454qaM BAP=qFs3M3AP=qFs2M2M1Fs1ARAFs4M4qRBFs1 RFsaA54 Fs2RqaFsaA4Fs3Fs4q

7、aRqaB34 BA P=qq1 21 23344RBRARARA)0(kN29030kN1502335 .460y的正误或校核求也可由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFMmkN26)5 . 12(2kN7A1A1SFFMFFFmkN3025 . 15 . 15 . 1kN115 . 1B2B2SqFMFqF例例2 2 求下图所示简支梁求下图所示简支梁1 1- -1 1与与2 2- -2 2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：解： 1、求支反力、求支反力2、计算、计算1-1截面的内力截面的内力3、计算、

8、计算2-2截面的内力截面的内力F=8kNFAS1F1MFBq=12kN/mS2F2M 通过上述计算可以看出，截面上通过上述计算可以看出，截面上的内力与该截面一侧杆上的外力相平的内力与该截面一侧杆上的外力相平衡，因而可以直接通过一侧杆段上的衡，因而可以直接通过一侧杆段上的外力直接求得截面上的内力外力直接求得截面上的内力外力外力简化法。简化法。符号如何确定？符号如何确定？Mll Mll l:力的作用线至所求截面的距离力的作用线至所求截面的距离MFsMFsmmFsFs左段右段1 11 12 22 21.5m1.5m1.5m3m2mP=8kNFs=12kN/m再作例2： 求图示简支梁求图示简支梁1-1

9、1-1、2-22-2截面的剪力和弯矩截面的剪力和弯矩. .ABRA RB 解：由得MB0RA =15kN由得MA0RB =29kN请思考：请思考： R RB B还可如何简便算出？还可如何简便算出？1 11 12 22 21.5m1.5m1.5m3m2mP=8kNFs=12kN/mABRA RB RA =15kNRB =29kN根据根据1-1截面截面左左侧的外力计算侧的外力计算FS1 、 M1 FS1=+RA-P =15-8 =+7kN M1 =+RA2-P(2-1.5) =152-80.5 =+26 kNm根据根据1-1截面截面右右侧的外力计算侧的外力计算FS1 、 M1FS1=+(Fs3)-

10、RB =123-29 =+7kNM1 =-(Fs3)2.5+RB4 =-(123)2.5+294 =+26 kNm1 11 12 22 21.5m1.5m1.5m3m2mP=8kNFs=12kN/mABRA RB RA =15kNRB =29kN根据根据2-2截面截面右右侧的外力计算侧的外力计算FS2 、 M2FS2 =+(Fs1.5)-RB =121.5-29 =-11kNM2 =-(Fs1.5)1.5/2+RB1.5 =-(121.5)1.5/2+291.5 = +30 kNm根据根据2-22-2截面左侧外力计算截面左侧外力计算FS2、M2 , , 请自己完成请自己完成! !FABaxAS

11、SAy0:0FFFFFxFMxFMMAAC0:0 xAFSFMCFSFMBFCABSBSy0:0FFFFFFFFxFxlFxFMxlFxFMMABBC0:0若将前面例题中确定尺寸b改为变量xbFlABFslABFabClABabClABM试列出下列各梁试列出下列各梁ABAB的剪力方程和弯矩方程的剪力方程和弯矩方程, , 作剪力图和弯矩图。作剪力图和弯矩图。xxxxx)()(SSxMMxFF1.剪力、弯矩方程剪力、弯矩方程： 2.剪力、弯矩图剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。