三角函数和反三角函数

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1、第二章 三角、反三角函数一、考纲要求1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+)的简图，理解A、w、的物理意义。6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx

2、、arccosx、arctgx表示。7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。二、知识结构1.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角。其中射线OA叫角的始边，射线OB叫角的终边，O叫角的顶点。(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。(3)象限角：由角的终边所在位置确定。第一象限角：2k2k+,kZ第二象限角：2k+

3、2k+,kZ第三象限角：2k+2k+,kZ第四象限角：2k+ 2k+2,kZ(4)终边相同的角：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k·360°+，kZ。(5)特殊角的集合：终边在坐标轴上的角的集合，kZ终边在一、三象限角平分线上角的集合k+，kZ终边在二、四象限角平分线上角的集合k-，kZ终边在四个象限角平分线上角的集合k-，kZ2.弧度制：(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。(2)角度与弧度的互化：1°弧度，1弧度()°(3)两个公式：(R为圆弧半径，为圆心角弧度数)。弧长公式：l=R扇形面积公

4、式：S=lR=R23.周期函数：(1)定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得x取定义域内的任意值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)叫做周期函数，其中非零常数T叫做这个函数的一个周期，如果T中存在一个最小的正数，则这个最小正数叫做这个函数的最小正周期。(2)几个常见结论：如果T是函数y=f(x)的一个周期，那么kT(kZ，且k0)也是y=f(x)的周期。 (1)如果T是函数y=f(x)的一个周期，那么也是y=f(wx)(w0)的周期。一个周期函数不一定有最小正周期，如常函数y=f(x)=c。4.三角函数定义：(1)定义：设是一个任意大小的角，P(x，y)是角终

5、边上任意一点，它与原点的距离PO=r,那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分别是sin=,cos=,tg=,ctg=,Sec=,csc= (如图(1)。(2)六个三角函数值在每个象限的符号：(如图(2)(3)同角三角函数的基本关系式：倒数关系：sin·csc=1,cos·sec=1,tg·ctg=1商数关系：tg=,ctg=平方关系：sin2+cos2=1,1+tg2=sec2,1+ctg2=csc2(4)诱导公式：2k+-+2-+正弦sin-sinsin-sin-sincoscos余弦coscos-cos-coscossin-sin正切tg-tg-tgtg

6、-tgctg-ctg余切ctg-ctg-ctgctg-ctgtg-tg上述公式可以总结为：奇变偶不变，符号看象限。5.已知三角函数值求角6.三角函数的图象和性质：(1)三角函数线：如图(3)，sin=MP,cos=OM,tg=AT,ctg=BS(2)三角函数的图像和性质：函数y=sinxy=cosxy=tgxy=ctgx图象定义域RRxxR且xk+,kZxxR且xk,kZ值域-1，1x=2k+ 时ymax=1x=2k- 时ymin=-1-1,1x=2k时ymax=1x=2k+时ymin=-1R无最大值无最小值R无最大值无最小值周期性周期为2周期为2周期为周期为奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调

7、性在2k-,2k+ 上都是增函数；在2k+ ,2k+上都是减函数(kZ)在2k-，2k上都是增函数；在2k，2k+上都是减函数(kZ)在(k-，k+)内都是增函数(kZ)在(k，k+)内都是减函数(kZ)7.函数y=Asin(wx+)的图像：函数y=Asin(wx+)的图像可以通过下列两种方式得到： 0，图像左移(1)y=sinx y=sin(x+) 0，图像右移 w1，横坐标缩短为原来的倍 y=sin(wx+) 0w1，横坐标伸长为原来的倍 A1，纵坐标伸长为原来的A倍 y=Asin(wx+) 0A1，纵坐标缩短为原来的A倍 w1,横坐标缩短为原来的倍(2)y=sinx 0w1,横坐标伸长为

8、原来的倍 0，图像左移y=sin(wx) 0,图像右移 A1，纵坐标伸长为原来A倍y=sin(wx+) y=Asin(wx+) 0A1，纵坐标缩短为原来A倍8.两角和与差的三角函数：(1)常用公式：两角和与差的公式：sin(±)sincos±cossin，cos(±)=coscossinsin，tg(±)=倍角公式：sin2=2sincos，cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2，tg2=.半角公式：sin=±,cos=±,tg=±=.积化和差公式：sincos=sin(+)+sin(-),cossin

9、= sin(+)-sin(-)coscos= cos(+)+cos(-),sinsin=- cos(+)-cos(-)和差化积公式：sin+sin=2sincos,sin-sin=2cossin cos+cos=2coscos ,cos-cos=-2sinsin 万能公式：sin=，cos=,tg=(2)各公式间的内在联系：(3)应注意的几个问题：凡使公式中某个式子没有意义的角，都不适合公式。灵活理解各公式间的和差倍半的关系。在半角公式中，根号前的符号由半角所在像限来决定。常具的变形公式有：cos=,sin2=,cos2=,tg+tgtg(+)(1-tgtg).asin+bcos=sin(+)

10、.(其中所在位置由a，b的符号确定，的值由tg=确定)。9.解斜三角形：在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C=+-，2A+2B2-C余弦定理a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosCcosA=cosB=cosC正弦定理=2RR为ABC的外接圆半径a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCsinA=,sinB=,sinC=射影定理acosB+bcosA=cacosC+cosA=bbcosC+ccosB=a面积公式S=aha=bhb=chcS=absinC=acsinB=bcsinAS=S=(P= (a

11、+b+c)S= (a+b+c)r(r为ABC内切圆半径)sinA=sinB=sinC=10.反三角函数：名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数定义y=sinx(x-, 的反函数，叫做反正弦函数，记作x=arsinyy=cosx(x0,)的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosyy=tgx(x(- , )的反函数，叫做反正切函数，记作x=arctgyy=ctgx(x(0,)的反函数，叫做反余切函数，记作x=arcctgy理解arcsinx表示属于-,且正弦值等于x的角arccosx表示属于0，且余弦值等于x的角arctgx表示属于(-,)，且正切值等于x的角arcctgx表示属于(0