第5章_第1a 可降阶的高阶微分方程

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1、1可降阶的高阶方程可降阶的高阶方程n阶微分方程的一般形式是阶微分方程的一般形式是: : ( )( , ,)0nF t x xx当当2n时时,统称为高阶微分方程统称为高阶微分方程.一一 、 可降阶的高阶方程可降阶的高阶方程1、不显含未知函数不显含未知函数x的方程的方程( )(1)( )( ,)0kknF t xxx(3.1.2)(3.1.2) 不显含未知函数不显含未知函数x x 或不显含未知函数及其或不显含未知函数及其 直到直到) 1( 1kk阶导数的方程是阶导数的方程是2对上式进行对上式进行k 次积分次积分, ,可求出方程可求出方程(3.1.2)(3.1.2)的解的解. .求解方法求解方法:

2、: 若能求得其通解为若能求得其通解为: :令令 yxk)(就可把就可把(3.1.2)(3.1.2)化为关于化为关于 y的的 kn阶方程阶方程: : 0),()(knyytF即即),(21)(knkccctx),(21kncccty( )(1)( )( ,)0kknF t xxx(3.1.2)(3.1.2) 3例例 求解方程求解方程.cos3xyxe 解解将方程积分三次将方程积分三次,xey331 xey391 xey3271 通解：通解：xsin 1C xcos xC1 2C xsin 21xC xC2 3C 4它是一个一阶方程它是一个一阶方程, ,通解是通解是: :44d xydt10dyy

3、dtt则方程可化为则方程可化为: :ctdtxd44即即cty 解解: : 令令545410d xd xdtt dt例、求解方程例、求解方程积分四次积分四次, ,得原方程的通解为得原方程的通解为: : 54233251ctctctctcx54, 100 xxyy例例 解方程解方程 , py 解解 令令,py 代入原方程代入原方程, ，3213xpxp ，xxxppd13d32 ，13ln)1ln(lnCxp ，)1(31xCp 40 xy，)1(43xy 3213xyxy ，41 C，244Cxxy 10 xy. 144 xxy，12 C，)1(31xCy 62 、不显含自变量、不显含自变量t

4、 t 的方程的方程求解方法求解方法: : 方程的一般形式为方程的一般形式为: :yx作为新未知函数作为新未知函数, ,用用而把而把x作为作为 新的自变量新的自变量, , 因为因为, ydtdx,22dxdyydtdxdxdydtdydtxd(3.1.3)(3.1.3)0),()(nxxxF7222233)()()(dxydydxdyydtdxdxdxdyyddtdxdyyddtxd由数学归纳法知由数学归纳法知, , )(kx可用可用 )(,11nkdxyddxdyykk来表达来表达, ,将这些表达式代入将这些表达式代入 (3.1.3)(3.1.3) 可得可得 0) ,)(,(2222dxdyd

5、xdyydxdyyyxFy(3.1.3)(3.1.3)0),()(nxxxF, ydtdx即有新方程即有新方程: : 它比原来的方程降低了一阶它比原来的方程降低了一阶. . 11( , ,)0nndydyG x ydxdx8.212的通解的通解求方程求方程yyy 解解,ddyppy 则则, py 设设代入原方程代入原方程例例yppddyp212 可分离变量方程可分离变量方程，yCp121 ，11 yCp，1dd1 yCxyxyCyd1d1 21112CxyCC 920dyxyydx1yc x所以所以2220d xdxxdtdt例例 求解方程求解方程从而可得从而可得0y dydxyx及及于是原方

6、程化为于是原方程化为: :作为新未知变量作为新未知变量, ,取取, ydtdx12c txc e代入原变量得代入原变量得: :xcdtdx1故原方程的解为故原方程的解为: :103 3、 全微分方程和积分因子全微分方程和积分因子若方程若方程( , ,)0nndxd xF t xdtdt，的左端是某个的左端是某个n-1n-1阶微分表达式阶微分表达式11( , ,)nndxdxt xdtdt，对对t t 的全导数，即的全导数，即 11( , ,)( , ,)nnnndxd xddxdxF t xt xdtdtdtdtdt，称称(3.1.4)(3.1.4)为全微分方程，显然有为全微分方程，显然有 (

7、3.1.4)(3.1.4)111( , ,)nndxdxt xcdtdt，(3.1.5)(3.1.5)11若求得（若求得（3.1.53.1.5）的全部解）的全部解: : 则它也一定是则它也一定是(3.1.4)(3.1.4)的解的解. .),(11nndtxddtdxxt后就成为全微分方程后就成为全微分方程. . 称其为方程称其为方程(3.1.4)(3.1.4)的积分的积分本身不是全微分方程本身不是全微分方程,有时方程有时方程(3.1.4)(3.1.4)积分因子积分因子: :但乘以一个合适的因子但乘以一个合适的因子因子因子. .),(21nccctx( , ,)0nndxd xF t xdtdt

8、，(3.1.4)(3.1.4)111( , ,)nndxdxt xcdtdt，(3.1.5)(3.1.5)12例例 求解方程求解方程解：原方程可以写成解：原方程可以写成222()0d xdxxdtdt()0d xxdt即即1xdxc dt212xctc积分后得通解为积分后得通解为故有故有1cxx13例例 求解方程求解方程解解: : 方程两边乘以因子方程两边乘以因子(0)x 方程化为方程化为: : 22221( .)11()0dxdd xdxx dtx dtxdtdt故有故有 11 dxcx dt222()0d xdxxdtdt解得解得 122(0)c txc ec故原方程的解为故原方程的解为

9、12c txc e21x显然显然0 x 也是原方程的解也是原方程的解. .1402 yyy微分方程微分方程满足条件满足条件, 10 xy210 xy的特解是的特解是1 xy或或12 xy解解0)(dd x故故有有yy 1Cyy 可分离变量方程可分离变量方程, 10 xy由由210 xy211 C即即21 yy2222Cxy 10 xy由由212 C12 xy15012 yy求微分方程求微分方程的积分曲线的积分曲线,使该使该积分曲线过点积分曲线过点,21, 0 且在该点的切线斜率为且在该点的切线斜率为2.解解方程方程012 yy,ddyppy 则则, py 设设代入方程代入方程,得得1dd2 y

10、ppy1212Cyp 01 Cyxy2dd 223232Cxy 2322132 C所求积分曲线为所求积分曲线为232321223 xy16 思考题思考题处处上上点点过过曲曲线线对对)(,()(, 0 xfxxfyx xttfxy0,d)(1轴上的截距等于轴上的截距等于的切线在的切线在.)(的的一一般般表表达达式式求求xf解解)()(xXxfxfY , 0 X令令轴轴上上的的截截距距得得切切线线在在y)()(xfxxfY xttfx0d)(1)()(d)(0 xfxxfxttfx 积分方程积分方程过曲线过曲线 y = f (x)上点上点( x, f (x)处的切线方程为处的切线方程为17处处上上

11、点点过过曲曲线线对对)(,()(, 0 xfxxfyx .)(的一般表达式的一般表达式求求xf积分方程积分方程两边对两边对x求导求导, 即即0)()( xfxfx型型可可降降阶阶的的方方程程属属于于),(yxfy )()(xpxf 令令)()(xpxf 且且代入上式代入上式,得得0)()( xpxpx可分离变量方程可分离变量方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 xttfxy0,d)(1轴上的截距等于轴上的截距等于的切线在的切线在)()(d)(0 xfxxfxttfx 1821ln)(CxCxf 0)()( xpxpx可分离变量方程可分离变量方程分离变量并积分分离变量并积分xxppd1d