高等数学 常微分方程

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1、1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束微分方程微分方程第十二章第十二章习题课习题课二、一阶微分方程求解二、一阶微分方程求解三、可降阶的高阶微分方程求解三、可降阶的高阶微分方程求解一、微分方程的概念一、微分方程的概念四、常系数齐次线性微分方程求解四、常系数齐次线性微分方程求解 2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例】,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy , yxxz 一、微分方程的概念常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程含有自变量、未知函数及其导数的方程叫做含有自变量、未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程 .(本章内

2、容本章内容)分类分类方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的的阶阶. .0),()( nyyyxF),()1()( nnyyyxfy( n 阶阶显式显式微分方程微分方程)一般地一般地 , n 阶常微分方程的形式是阶常微分方程的形式是或或3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【分类【分类1】常微分方程常微分方程, , 偏微分方程偏微分方程. ., 0),( yyxF一阶微分方程一阶微分方程);,(yxfy 高阶高阶(n)微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy【分类【分类2】【分类【

3、分类3】线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程. .),()(xQyxPy ; 02)(2 xyyyx【分类【分类4】单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组. . ,2,23zydxdzzydxdy4机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束,00 ts20dd0 tts引例引例24 . 0dd22 xy-使方程成为恒等式的函数使方程成为恒等式的函数. .通解通解 - - 解中所含独立的任意常数的个数与方程解中所含独立的任意常数的个数与方程)1(00)1(0000)(,)(,)( nnyxyyxyyxy- - 确定通解中任意常数的条件确定通解中任意常数的条件. .n

4、 阶方程的阶方程的初始条件初始条件( (或初值条件或初值条件) ):的阶数相等的阶数相等. .特解特解xxy2dd 21 xy引例引例1 Cxy 22122 . 0CtCts 通解通解:tts202 . 02 12 xy特解特解:微分方程的微分方程的解解 - - 不含任意常数的解不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为其图形称为积分曲线积分曲线. .5机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束待定系数法待定系数法基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.可化为齐次可化为齐次方程方程

5、5.5.全微分方程全微分方程6.6.线性方程线性方程7.7.伯努利方程伯努利方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4欧拉方程欧拉方程二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f( (x) )的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程特征方程法特征方程法主要内容主要内容6机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束作作变变换换微分方程解题思路微分方程解题思路一阶方程一阶方程高阶方程高阶方程分离变量法分离变量法全微分方程全微分方程常数变易法常数变

6、易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法非全微分方程非全微分方程非变量可分离非变量可分离幂级数解法幂级数解法降降阶阶作变换作变换积分因子积分因子7机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束转化转化 1 1、可分离变量微分方程、可分离变量微分方程 解分离变量方程解分离变量方程 可分离变量方程可分离变量方程 0 )(d )(11 xNxxMyyNyMd)( )(22)()(dd21yfxfxy xxfyygd)(d)( yygd)( 二、二、一阶微分方程求解一阶微分方程求解两边积分两边积分, 得得 xxfd)( 则有则有CxFyG )()(8机动机动 目录目录 上页上页 下页下

7、页 返回返回 结束结束2、齐次方程)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .2）. 【解法解法】,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程1）. .【定义【定义】属于一阶微分方程属于一阶微分方程 ),(yxfy 9机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束,0)(时时当当 uuf,ln)(1xCuufdu 得得,)(uCex 即即 ）（uufduu)()( ,代入代入将将xyu ,)(xyCex 得通解得通解,0u 当

8、当, 0)(00 uuf使使,0是新方程的解是新方程的解则则uu ,代回原方程代回原方程.0 xuy 得齐次方程的解得齐次方程的解10机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束)()(ddxQyxPxy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式: :, 0)( xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的. .上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的. ., 0)( xQ当当3 3、线性方程、线性方程【例如【例如】,dd2xyxy ,sindd2ttxtx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的; ;非线性的非线性的. .11机动机动 目录目录 上页上页 下页下页

9、 返回返回 结束结束一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法0)(dd yxPxy1）. 解齐次方程解齐次方程分离变量分离变量xxPyyd)(d 两边积分得两边积分得CxxPylnd)(ln 故通解为故通解为xxPeCyd)( 2）. 解非齐次方程解非齐次方程)()(ddxQyxPxy 12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xxPeuxPd)()(对应齐次方程通解对应齐次方程通解 xxPeCyd)(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解 xxPCed)(用常数变易法用常数变易法:,)()(d)( xxPexuxy则则 xxPeud)()(xP

10、 xxPeud)()(xQ 故原方程的通解故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)( y即即即即作变换作变换)()(ddxQyxPxy 非齐次方程 xxPexQxud)()(dd两端积分得两端积分得CxexQuxxP d)(d)( CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(13机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束伯努利伯努利(Bernoulli)方程的方程的标准形式标准形式nyxQyxPxy)()(dd )1 , 0( n方程为方程为线性线性微分方程微分方程. . 方程为方程为非线性非线性微分方程微分方程. .3）、伯努利方程时，时，当当1 , 0 n时时，

11、当当1 , 0 n14机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解法【解法】需经过需经过变量代换变量代换化为化为一阶线性微分方程一阶线性微分方程. .ny以以)()(dd1xQyxPxyynn 令令,1 nyz xyynxzndd)1(dd 则则)()1()()1(ddxQnzxPnxz 求出此方程通解后求出此方程通解后,除方程两边除方程两边 , 得得换回原变量即得伯努利方程的通解换回原变量即得伯努利方程的通解.(关于关于z , x的一阶线性方程的一阶线性方程). )()1()()1()()1(1 CdxexQnezydxxPndxxPnn15机动机动 目录目录 上页上页 下