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1、第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 1第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型主要内容：主要内容：控制系统的数学模型控制系统的数学模型 1. 系统微分方程的建立及非线性方程的线性化系统微分方程的建立及非线性方程的线性化控制理论的研究对象控制理论的研究对象是系统、输入、输出三者之是系统、输入、输出三者之2. 传递函数的定义、性质及典型环节的传递函数传递函数的定义、性质及典型环节的传递函数3. 系统传递函数方块图及简化系统传递函数方块图及简化4. 相似原理相似原理间的动态关系，描述系统这种动态关系的是系统的数间的动态关系，描述系统这种动态关系的
2、是系统的数学模型，古典控制理论内系统的数学模型有三种学模型，古典控制理论内系统的数学模型有三种第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 21微分方程：时域微分方程：时域求解困难求解困难 2传递函数：复域传递函数：复域求解方便，便于求解方便，便于直接在复域中研究系统的动态特性直接在复域中研究系统的动态特性 2-1 系统的微分方程系统的微分方程2-2 传递函数传递函数2-3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 2-4 系统传递函数方块图及其简化系统传递函数方块图及其简化各章节内容各章节内容3. 动态结构图（传递函数方框图）动态结构图（传递函数方框图） 补充内容补充内容 拉普拉斯变换拉普拉斯变换
3、第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 3一、线性定常系统及叠加原理一、线性定常系统及叠加原理2-1 2-1 系统的微分方程系统的微分方程 111010nnmmnonoomimiia xtaxta xtb xtbxtb x t oxt1系统、输入、输出三者关于的微分方程的标准形式：系统、输入、输出三者关于的微分方程的标准形式： 式中：式中： 系统输出系统输出 ; 系统输入系统输入 ix t第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 41）线性系统：方程只包含变量）线性系统：方程只包含变量 、 a线性定常系统：线性定常系统：ana0 ；bmb0为常数为常数 b线性时变系统：线性时变系统：an
4、a0 ；bmb0为时间的函数为时间的函数 2）非线性系统：）非线性系统： 方程中含有方程中含有 、 的各阶导数的各阶导数 各阶导数的其它函数形式各阶导数的其它函数形式 2根据系统微分方程对系统进行分类根据系统微分方程对系统进行分类 oxt ix t oxt ix t第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 5 例例，其中，其中,a,b,c,d,a,b,c,d均为常数。均为常数。 ax(t)bx(t)cx(t)dy(t)线性定常系统线性定常系统a(t)x(t)b(t)x(t)c(t)x(t)d(t)y(t)线性时变系统线性时变系统2y(t)x (t)非线性系统非线性系统第二章第二章 系统的数学
5、模型系统的数学模型 6X Xi i1 1( (t t) )A AX X0101( (t t) )X Xi i1 1( (t t)X X0101( (t t) )X Xi i2 2( (t t) )A AX X0202( (t t) )X Xi i2 2( (t t)X X0202( (t t) )X Xi i1 1( (t t) )A AX Xi i2 2( (t t) )X X0101( (t t) )X X0202( (t t) )aXaXi i1 1( (t t)+)+bXbXi2i2( (t t)aXaX0101( (t t)+)+bXbX0202( (t t) )3线性系统满足叠加原
6、理线性系统满足叠加原理意义：意义：对于线性系统，各个输入产生的输出是互对于线性系统，各个输入产生的输出是互不影不影响的。因此，在分析多个输入加在线性系统上响的。因此，在分析多个输入加在线性系统上而引起的总输出时，可以先分析由单个输入产生的而引起的总输出时，可以先分析由单个输入产生的输出，然后，把这些输出叠加起来，则可求得总的输出，然后，把这些输出叠加起来，则可求得总的输出。输出。第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 7力学力学牛顿定律牛顿定律3将各运动方程构成微分方程，消去中间变量，将各运动方程构成微分方程，消去中间变量，并化成标准形式（输出量和输入量的各导数项按并化成标准形式（输出量和
7、输入量的各导数项按降阶排列）降阶排列）2从系统输入端开始，依次列写出各元件（环节）的从系统输入端开始，依次列写出各元件（环节）的 运动方程运动方程 电学电学基尔霍夫定律基尔霍夫定律二、微分方程的列写步骤二、微分方程的列写步骤1分析系统的工作原理，找出输入、输出及中间变分析系统的工作原理，找出输入、输出及中间变 量的关系量的关系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 8质量质量弹簧弹簧阻尼系统阻尼系统m my y( (t t) )f f( (t t) )c ck k图图2-1 00)0()0()()()()(yyyytftKytyCtym.例例1：第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型
8、9L、C、R 组成的电路如图，列出以组成的电路如图，列出以u1为为R RC Cu u2 2(t)(t)i(t)i(t)L Lu u1 1(t)(t)输入、输入、u2为输出的运动方程为输出的运动方程 解：由解：由 KVLKVL 有：有：消去中间变量消去中间变量i ：写成微分方程标准形式：写成微分方程标准形式：例例2：221duiCuidtdtC12diuRiLudt222122dud uuRCLCudtdt222212d uduLCRCuudtdt第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 10受到影响，此影响称负载效应。其实质是物理环节之受到影响，此影响称负载效应。其实质是物理环节之两个或两个
9、以上环节（或子系统）组成一个系统时，两个或两个以上环节（或子系统）组成一个系统时，若其中一环节的存在使另一环节在相同输入下的输出若其中一环节的存在使另一环节在相同输入下的输出间的信息反馈作用。间的信息反馈作用。 i i1 1(t)(t)c c2 2u u2 2(t)(t)u u1 1(t)(t)c c1 1i i2 2(t)(t)R1R1R2R2图图2-32-3例：由两极串联的例：由两极串联的 RC 电路组成的滤波网络，试写出以电路组成的滤波网络，试写出以u1(t)为输入，为输入，u2(t)为输出的系统微分方程。为输出的系统微分方程。三、负载效应三、负载效应第二章第二章 系统的数学模型系统的数
10、学模型 11解：把两个解：把两个RC电路当作整体来考虑电路当作整体来考虑消去中间变量消去中间变量i 1、i 2 11222112212221RC R C utRCR CRCututu t11 11211uRiiidtC122 2211iidtR iuCi i1 1(t)(t)c c2 2u u2 2(t)(t)u u1 1(t)(t)c c1 1i i2 2(t)(t)R1R1R2R22221ui dtCab第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 12若分开考虑：若分开考虑： C C1 1u u1 1(t)(t)i i1 1(t)(t)u u1 1(t)(t)R R1 1 dtiCuudt
11、iCiR1111111111C C2 2u u2 2(t)(t)i i2 2(t)(t)uu1 1(t)(t)R R2 2 dtiCuudtiCiR2221222211消去中间变量消去中间变量i 1、i 2、u 1：此结果错误此结果错误 112221122221RC R C utRCR Cututu t第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 131系统由单变量非线性函数所描述系统由单变量非线性函数所描述 y= f (x) y(t):输出输出 x(t):输入输入 222000! 21)()(xdxfdxdxdfxfxfxxD D D D 3330! 31xdxfdxD DxdxdfxfD D
12、 )(00 x四、非线性微分方程线性化四、非线性微分方程线性化第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 14P ( x0, y0 ) 点曲线的斜率点曲线的斜率 xxfxfD D )()(0dxdf0 xxyD D D Ddxdf0 x即K dxdf0 x令令 xKyD D D D则则 增量方程增量方程 若令若令 x=x, y=y 若若 y = K x线性化方程（增量方程）线性化方程（增量方程） 第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 152非线性系统输出非线性系统输出 z(t) 是两个变量是两个变量 x 和和 y的函数，即的函数，即 z=f(x, y) 1）确定工作点）确定工作点P(x
13、0, y 0, z 0) 2）在工作点附近展开成泰勒级数并忽略高阶项）在工作点附近展开成泰勒级数并忽略高阶项 D D D D yyfxxfyxfyxfZyx00,00),(),(yx00,D D D D yyfxxfyxfyx00,00),(yx00, ),(),(00yxfyxfZ D DD D D D yyfxxfyx00,yx00, yKxKzyXD D D D D DyKxKzyX ，2第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 164写成标准微分方程形式写成标准微分方程形式 3非线性微分方程线性化非线性微分方程线性化 2从系统输入端开始依次列写微分方程，注意负从系统输入端开始依次列写
14、微分方程，注意负 载效应载效应1分析系统工作原理，确定描述系统的变量，分分析系统工作原理，确定描述系统的变量，分 析相互关系析相互关系考虑非线性情况下，系统微分方程列写步骤考虑非线性情况下，系统微分方程列写步骤 ：第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 17 拉普拉斯变换拉普拉斯变换LaplaceLaplace 拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量数经拉氏变换后，变成复变量S的乘的乘积，将时间表示的微分方程，变成以积，将时间表示的微分方程，变成以S表
15、示的代数方程。表示的代数方程。第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 18一、拉氏变换和拉氏反变换的定义一、拉氏变换和拉氏反变换的定义1.拉氏变换的定义拉氏变换的定义函数函数 在在 时有定义，且积分时有定义，且积分 在在s的某一域内收敛，则积分所确定的函数可写为的某一域内收敛，则积分所确定的函数可写为 f t0t 0stf t edt 0stF sf t edt称为函数称为函数 的拉氏变换，记为的拉氏变换，记为 F s f t L f tF sf(t) F(s)的原函数；的原函数； F(s) f(t)的的Laplace变换（或称为象函数）变换（或称为象函数）s = + j第二章第二章 系统
16、的数学模型系统的数学模型 192.拉氏反变换的定义拉氏反变换的定义 112jstjf tLF sF s e dsj 1LF s已知已知 f t L f tF s，欲求原函数，欲求原函数 时，时，则称为拉氏反变换，记为则称为拉氏反变换，记为第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 2001stes 0atatstL eeedt0)(1 taseasas 10 ( )( )stLtt edt0stedt0( )( ) stF Sf t edt( )( )10f ttt( )( )atf tet jseLtj 1s1 1.单位阶跃函数单位阶跃函数2.指数函数指数函数1j tL esj二、典型时间函
17、数的拉氏变换二、典型时间函数的拉氏变换第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 215.单位抛物线函数单位抛物线函数 231102f tttF sL f ts6.正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数 22sin0sinf tttF sLts 22cos0cossf tttF sLts7.幂函数幂函数 1!0nnnnf tttF sL ts 0)()(dtettLst ( )( )f tt 00)( dtt = 13.单位脉冲函数单位脉冲函数4.单位斜坡函数单位斜坡函数 210f tttF sL f ts第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 22三、拉氏变换的重要性质三、拉氏变换的重要性
18、质1.线性性质线性性质 1122L ftF sL ftFs1K，2K为常数，则为常数，则 1 1221122L K ftK ftK F sK Fs 1AL：例例SA )1( 2teAL ：例例)11( ssA第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 232.实数域的位移定理（延迟性）实数域的位移定理（延迟性）)()()(000sFettttfLst )()(sFtfL 设设：第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 24例例1：1Ttf(t)()()(Ttttf sTesssF 11)(TTf(t)()()(Tttttf )()()()()(TtTTtTttttf sTsTesTesssF
19、 2211)(例例2：第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 253.复数域的位移定理（位移性）复数域的位移定理（位移性） L f tF s，则，则 atL ef tF sa 或或 1atLF saef tcos3teLt ：例例22)( ss2)(1 s1tteL ：例例sin2teLt ：例例22)( s第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 264.微分定理微分定理 nnL fts F s Lf tF s，则，则 0LftsF sf 112000nnnnnL fts F ssfsff若若 100,00,00nfff 200L fts F ssff第二章第二章 系统的数学模型系统的
20、数学模型 27由于由于 0100ff 2cosftt 22coscos00LtL fts Ltsff例：利用微分定理求例：利用微分定理求 cosL f tLt22cossLts22coscosLts Lts22coscosss LtLt第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 285.积分定理积分定理 Lf tF s，则，则 01tLfdF ss L t2 ( )1Ltss0( )tLd 例例第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 291tL：例例)1(ddss 21s )1(dd ss2)(1 s2tteL ：例例六六. 复频域导数性质复频域导数性质ssFtftLd)(d)( )()(
21、sFtfL 设设：第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 30七七. 初值定理和终值定理初值定理和终值定理)(lim)(lim)0(0ssFtffst 初值定理初值定理若若Lf(t)=F(s)1as1slim) s (sFlim)0(fss由初值定理知：由初值定理知：as1) s (F例：已知例：已知 ，求f(0+)第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 31六六. 初值定理和终值定理初值定理和终值定理存在时存在时)(limtft )(lim)(lim0ssFtfst 终值定理：终值定理：例：已知：例：已知： 1L f tF sfsa求00( )lim( )lim0sssfsF ssa
22、 第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 320)0( Cu)(tudtduRC ssUssRCU1)()( )1(1)(sRCssU 0)1(1lim sRCs)1(1lim)0(sRCssus 1)1(1lim)(0 sRCus例例: ( (t) )RC+ +u- -+- -用初值定理和终值定理验证用初值定理和终值定理验证第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 33八八. 卷积定理卷积定理卷积定理：卷积定理： 设设f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s),g(t)的拉氏变换为的拉氏变换为G(s)， 0tLf tgdF s G s 0tf tgdf tg t第二章第二章 系统的数学模
23、型系统的数学模型 34举例：求正弦函数和余弦函数的拉氏变换举例：求正弦函数和余弦函数的拉氏变换00221sin2121112j tj tstsjtsjtLteeedtjeedtjjsjsjs1sin21cos2j tj tj tj tteejtee00221cos2121112j tj tstsjtsjtLteeedteedtssjsjs第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 35已知已知f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s),求求atLef(t)(ta)已知已知f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s),求求Lf(at) atatL ef ttaL ef tLtaasF sa e0stL
24、 f atf at edt 0safeda 01safeda1sFaa3第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 36四、拉氏反变换的数学方法四、拉氏反变换的数学方法用部分分式法求拉氏反变换用部分分式法求拉氏反变换 12nB sF sssssss B sF sA s将将 化为真分式，再将化为真分式，再将 因式分解因式分解 A s1. 无重根无重根 F s 1212nnKKKF sssssss12,nK KK为待定系数为待定系数 iiis sB sKssA s第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 37 121121nis ts ts tnns tiif tLF sK eK eK eK e
25、例：例： 2243sF sss 12224313KKsF sssss 31122ttf tee1/21/213ss第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 3821321 sKsksk5 . 2)(01 SssFk05 . 155 . 2)(2 teetftt)2)(1(52 sssss例例)23(5)(22 ssssssF5)1)(12 SssFk5 . 1)2)(23 SssFk第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 39( )()( )lim( )iissB s ssB sA s( )( )iiB sA s( )( )iiiB sKA sKi也可用分解定理分解定理求求1( )( )
26、( )ins tiiiB sf teA s( )()lim( )iiissB s ssKA s第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 40例例( )25A ss用分解定理求原函数用分解定理求原函数2323( 2)( 3)( )370( 2)( 3)ttttBBf teeeetAA 245( )56sF sss( )( )iiiB skA s1223ss 21212ss2( )2 ( )20ttf tteet32(1)(2)sss例例22277( )32ssF sss第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 4122.( )F S 有相等的实根（重根 ）1222111( )( )()()k
27、kB sF sssssss1221()( )S SkssF s1211d()( )dS SkssF ss21112( )()()F s ssk ssk第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 42122(1)(1)KKss225( )(1)sF ss21(25)3sKs11d(25)2dsKss( )230ttf tetet例例131223(2)(2)(2)KKKsss2322( )(2)ssF ss例例2第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 432332322(2)2(2)sssKss223122231d(22)1d(2) 2212d(2)2dssssKsssss2222( )20t
28、ttf tetet et322123( )(2)(2)(2)sF s sk sksk232223d22(2) (22)2d(2)ssssKssss 312d ( )(2) 2 (2)dF s sk sks23122( )(2)(2)(2)F ssss第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 441011( ) ()mmmna sa saF sss112211111( )()()()nnnnkkkkF sssssssss一般多重根情况一般多重根情况11()( )nns skssF s111d()( )dnns skssF ss122121d()( )2!dnns skssF ss111111d
29、()( )(1)!dnns snkssF sns第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 45例：例： 2213sF ss ss 312422213131KKKKsF sssss sss 3132124312tttf tteee 212121lim1213ssKss ss 222123lim1413sdsKsdss ss 32022lim313ssKss ss 42321lim31213ssKss ss 211312 11124131231F sssss 第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 46例：例： 2322sF sss 2223112221111ssF sssss cos2si
30、ncos2sintttf tetetett12cos1sLts121sin1Lts121cos11tsLets121sin11tLets第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 472-2 2-2 传递函数传递函数 传递函数是描述系统的动态关系的另一种传递函数是描述系统的动态关系的另一种数学模型，是经数学模型，是经典控制理论对线性系统进行研究、典控制理论对线性系统进行研究、分析与综合的基本数学分析与综合的基本数学工具，是时域分析、频域工具，是时域分析、频域分析及稳定性分析的基础，也是分析及稳定性分析的基础，也是经典控制理论进行经典控制理论进行系统综合设计的基础，因此，十分重要。系统综合设计的
31、基础，因此，十分重要。第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 48定义：对于单输入、单输出线性定常系统，当输入定义：对于单输入、单输出线性定常系统，当输入换与输入量的拉氏变换之比。换与输入量的拉氏变换之比。 输出的初始条件为零时，其输出量的拉氏变输出的初始条件为零时，其输出量的拉氏变设线性定常系统的微分方程为：设线性定常系统的微分方程为： )()()(0) 1(1)(txbtxbtxbimmmimi )()()(00) 1(01)(0txatxatxannnn 式中：式中：a na 0, b mb 0 均为常系数均为常系数 x 0 (t)为系统输出量，为系统输出量，x i(t)为系统输入量
32、为系统输入量 一、定义一、定义第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 49若输入、输出的初始条件为零，即若输入、输出的初始条件为零，即 0)0()(0 KxK = 0, 1 , , n1 0)0()(i KxK = 0, 1 , , m1 对微分方程两边取拉氏变换得：对微分方程两边取拉氏变换得： )(011sXbsbsbimmmm )(0011sXasasannnn 则该系统的传递函数则该系统的传递函数 G(S) 为：为：0110110)()()(asasabsbsbsXsXsGnnnnmmmmi （nm） 第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 50传递函数方框图：传递函数方框图：G
33、 G（s s）X Xi i( (s s) )X X0 0( (s s) )1）列出系统微分方程（非线性方程需线性化）列出系统微分方程（非线性方程需线性化） 2）假设全部初始条件均为零，对微分方程）假设全部初始条件均为零，对微分方程 3）求输出量和输入量的拉氏变换之比）求输出量和输入量的拉氏变换之比传递函数传递函数进行拉氏变换进行拉氏变换求传递函数的步骤：求传递函数的步骤：i)()(0(sXsXsG 第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 51质量质量弹簧弹簧阻尼系统阻尼系统令初始条件均为零，令初始条件均为零，方程两边取拉氏变换方程两边取拉氏变换 )()(2sFsYkcsms kcsmssF
34、sYsG 21)()()( 例例1:)()()()(tftk ytyctym .m my y( (t t) )f f( (t t) )c ck k第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 52L L、R R、C C 电路系统电路系统R RC Cu u2 2(t)(t)i(t)i(t)L Lu u1 1(t)(t) )()(1122sUsURCsLCs 11)()()(212 RCsLCssUsUsG例例2 2 ：)()()()(1222tututuRCtuLC .第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 531传递函数和微分方程是一一对应的传递函数和微分方程是一一对应的 微分方程：在时域内
35、描述系统的动态关系（特性）微分方程：在时域内描述系统的动态关系（特性） 传递函数：在复域内描述系统的动态关系（特性）传递函数：在复域内描述系统的动态关系（特性）统与外界联系，当输入位置发生改变时，分子会改变。统与外界联系，当输入位置发生改变时，分子会改变。 2传递函数的分母只取决于系统本身的固有特性，与传递函数的分母只取决于系统本身的固有特性，与外界无关，因此分母反映系统固有特性，其分子反映系外界无关，因此分母反映系统固有特性，其分子反映系二、传递函数的性质和特点二、传递函数的性质和特点第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 54例例 ： mytcy tky tcx tkx t 2mscs
36、k Y scsk X s)(tymffcK .my(t)ckx(t)Ck t)(y)(tx ( )tym .t)(y)(tx . 2Y scskG sX smscsk第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 553若输入给定，则输出完全取决于传递函数若输入给定，则输出完全取决于传递函数 4不同物理系统（机械、电气、液压）可以不同物理系统（机械、电气、液压）可以能用相同数学模型描述的系统能用相同数学模型描述的系统相似系统相似系统 用形式相同的传递函数来描述用形式相同的传递函数来描述相似原理相似原理5分母阶次常高于分子阶次（分母阶次常高于分子阶次（nm）G G（s s）X Xi i( (s s)
37、 )X X0 0( (s s) )()()(0sXsGsXi 4第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 56传递函数为复变函数，故有零点和极点传递函数为复变函数，故有零点和极点 )()()()()(2121nmPsPsPsZsZsZsKsG 零点：使零点：使 G G( (s s) ) =0 的的 s 值值 （分子为（分子为0） 极点：使极点：使 G G( (s s) ) 分母为零的分母为零的 s 值值 G G( (s s) ) 的零极点分布决定系统响应过渡过程。的零极点分布决定系统响应过渡过程。三、传递函数的零点和极点三、传递函数的零点和极点G G( (s s) ) 的极点分布决定系统的稳
38、定性。的极点分布决定系统的稳定性。第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 57 100010000mmnsnsb sbsbbG sGa sa saa 1iXss当当s s0 0时时若输入为单位阶跃函数，若输入为单位阶跃函数， 00000limlimlim0itssxtxsXssG s XsG G G（0 0）为系统的稳态输出，也是系统的放大倍数）为系统的稳态输出，也是系统的放大倍数第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 58设系统有b 个实零点; d个实极点;c 对复零点; e对复极点;v 个零极点).()().()()(210210nmpspspsazszszsbsGnnnnmmmm
39、asasasabsbsbsbsG11101110.)(b+2c = mv+d+2e = n典型环节的产生典型环节的产生2-3 2-3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 59ekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()(sse第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 601 1比例环节（放大环节）比例环节（放大环节）凡输出量与输入量成正比，不失真也不延时的凡输出量与输入量成正比，不失真也不延时的)()(0tKxtxi 微分方程：微分方程： KsXsXsGi )()()(0传递函数
40、：传递函数： ，K：放大系数（增益）：放大系数（增益） 环节称比例环节。环节称比例环节。方框图方框图 :K KX Xi i( (s s) )X X0 0( (s s) )第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 61R R1 1R R2 2u u0 0( (t t) )u ui i( (t t) )+ +运算放大器运算放大器ui(t)输入电压输入电压 u0(t)输出电压输出电压 R1、R2电阻电阻 )()(120tuRRtui )()(120sURRsUi 拉氏变换：拉氏变换： 已知：已知： 例例 ： 021iUsRG sKUsR 第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 62弹簧受力如图
41、：弹簧受力如图：图图2-92-9y y( (t t) )K Kf f ( (t t) )k y(t) = f (t)k Y(s) = F(s )ksFsYsG1)()()( 例例 ：第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 63时域内用一阶微分方程表示的环节时域内用一阶微分方程表示的环节 微分方程：微分方程： 传递函数：传递函数： 1)()()(0 TsKsXsXsGi方框图：方框图：X Xi i( (s s) )X X0 0( (s s) )1 TskK：增益；：增益；T：时间常数：时间常数 2一阶惯性环节一阶惯性环节 00iTxtxtKx t第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 6
42、4R、C电路如图电路如图R RC Cu u0 0i iu ui i图图2-102-10例例 ：)()()(00tututuRCi .0iuRiu00duiCCudt 01111iUsG sUsRCsTs第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 65弹簧弹簧阻尼系统，阻尼系统，xi(t) 输入位移，输入位移，x0(t)输出位移输出位移x x0 0( (t t) )K KC Cx xi i( (t t) )()(0txtxkfik )(0txCfC 受力平衡受力平衡 f k=f C )()()(00txtxktxCi )()()(00tk xtk xtxCi 例例 ： 01111iXsKG sC
43、XsCsKTssK第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 66 时域内，输出量正比于输入量的微分。时域内，输出量正比于输入量的微分。微分环节：微分环节： 传递函数：传递函数：G(s)=Ts )()(0txTtxi 方框图：方框图： TsTsX Xi i( (s s) )X X0 0( (s s) )3微分环节微分环节理想微分理想微分实际微分实际微分惯性惯性T T 0 0dttdxKtxrc)()(KssXsXsGrc)()()(1)()()(TsKTssXsXsGrc第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 67例：微分运算电路例：微分运算电路i1i1Rciu0uiduicdt01 11
44、uRiRi 01iUsG sRCsTsUs 01iduuRCdt 01iUsRCsUs 第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 68在实际的机电控制工程系统中，理想的微分环节很难实在实际的机电控制工程系统中，理想的微分环节很难实现，通常用现，通常用 (其中其中T，K为常数为常数) 来近似微分环节。来近似微分环节。 例例3 如图所示的无源微分网络如图所示的无源微分网络 uo(t)i(t)ui(t)CR (其中其中K=1，T=RC) ( )( )( )1oiUsRCsG sU sRCs( )1KTsG sTs第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 69微分环节对系统的控制作用：微分环节对系
45、统的控制作用：（1）使输出提前）使输出提前（2）增加系统的阻尼）增加系统的阻尼（3）强化噪声）强化噪声第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 70时域内，输出量正比于输入量对时间的积分。时域内，输出量正比于输入量对时间的积分。TssG1)( 传递函数：传递函数： 0)(1)(dttxTtxi微分方程：微分方程： T：积分时间常数：积分时间常数 方框图：方框图：X Xi i( (s s) )X X0 0( (s s) )TsTs1 14积分环节积分环节 ！记忆tiodttxKtx0)()( ！积分输入突然除去输入突然除去积分停止积分停止输出维持不变输出维持不变例例1 1：电容充电：电容充电例
46、例2 2：积分运算放大器：积分运算放大器第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 71AtTAdtTtxt11)(00第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 72例例1 电容充电电容充电第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 73有源积分网络有源积分网络ui(t)输入电压输入电压 u0(t)输出电压输出电压 R电阻电阻 C电容电容 dttduCRtui)()(0 已知：已知： 例例 2 2： 01iUsCsUsR R Ru u0 0( (t t) )u ui i( (t t) )C C+ + 011iUsG sUsRCsTs 第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 74时域内，以
47、二阶微分方程描述的环节。时域内，以二阶微分方程描述的环节。)()()(2)(0002txtxtxTtxTi x x微分方程：微分方程： )()()12(022sXsXTssTi x x传递函数：传递函数： 121)(22 TssTsGx x2222nnnss xx T：振荡环节的时间常数：振荡环节的时间常数 n：无阻尼固有频率：无阻尼固有频率 ：阻尼比：阻尼比 5振荡环节振荡环节1nT第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 75mkc系统：系统： RLC电路：电路： kcsmssG 21)( 11)(2 RCsLcssG 方框图：方框图：X Xi i( (s s) )X X0 0( (s
48、s) )2222nnnss xx 例例 ：)()()()(tftkytyctym .)()()(000tututuRCuLCi .5第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 76 时域内，输出滞后输入时间时域内，输出滞后输入时间，但不，但不失真地反失真地反映输入的环节映输入的环节微分方程：微分方程： )()(0 txtxi传递函数：传递函数： )()(0sXesXiS SiesXsXsG )()()(0方框图：方框图：e essX Xi i( (s s) )X X0 0( (s s) )6延时环节延时环节第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 77延迟环节与惯性环节的区别延迟环节与惯性环
49、节的区别 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值。 延迟环节从输入开始之初，在延迟环节从输入开始之初，在0 时间内没有时间内没有输出，但输出，但t=之后，输出完全等于输入。之后，输出完全等于输入。第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 78例例1 水箱进水管的延时水箱进水管的延时第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 792惯性环节惯性环节KTs1Ts6延时环节延时环节1比例环节比例环节3微分环节微分环节4积分环节积分环节5振荡环节振荡环节222221221nnnssT sTsxx1KTsse第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 8
50、02.3 2.3 系统传递函数系统传递函数 方框图及其简化方框图及其简化 一、系统传递函数方框图一、系统传递函数方框图数方块图（或结构图）。它是用图形表示的数方块图（或结构图）。它是用图形表示的系统模型系统模型。用传递函数方框将控制系统全部变量联系起来，描述用传递函数方框将控制系统全部变量联系起来，描述各环节之间的信号传递关系的图形，称为系统传递函各环节之间的信号传递关系的图形，称为系统传递函它不同于物理框图，着眼于信号的传递。它不同于物理框图，着眼于信号的传递。 第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 81 表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，表示信号引出或测量的
51、位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样其性质、大小完全一样。 带有箭头的直线，箭头表示信号的带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。或象函数。1 方框图构成要素方框图构成要素第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 82函数方块具有运算功能函数方块具有运算功能(a) 用符号用符号“ ”及相应的信号箭头表示及相应的信号箭头表示 (b) 箭头前方的箭头前方的“+”+”或或“-”-”表示加上此信号或减去此信号表示加上此信号或减去此信号 21XsXs G s第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 832.系
52、统方框图的建立：系统方框图的建立：（1）建立系统的微分方程；）建立系统的微分方程；（2）对微分方程取）对微分方程取Laplace变换，并画出相应的方框图；变换，并画出相应的方框图；（3）按照信号的传递顺序，依次将各传递函数方框图）按照信号的传递顺序，依次将各传递函数方框图连接起来。连接起来。第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 84例：图例：图2.1.3的液压伺服机构的液压伺服机构qcmycyAPqAyqk xk P 2qcmscs Y sAP sQ sAsY sQ sk X sk P s 1qcP sk X sQ sk Q sAsY s 2AY sP smscs第二章第二章 系统的数学
53、模型系统的数学模型 85R、C电路如图电路如图R RC Cu u0 0i iu ui i例例 ： 001iiUsRI sUsI sUsUsR0iuRiu01uidtc 01UsI scs第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 86 101ix tx txtn t 21 1xtk x t 325xtxtxt 5422xtxtk nt 43dxtTxtdt 200052d xtdxtk xtdtdt 101iXsXsXsNs 211Xsk Xs 325XsXsXs 5422XsXsk Ns 43TsXsXs 20500k Xss XssXs 431XsXsTs 0052kXsXsss第二章第二
54、章 系统的数学模型系统的数学模型 871环节的串联环节的串联X Xi i( (s s) )G G1 1( (s s) )X X( (s s) )G G2 2(s)(s)X X0 0( (s s) )X Xi i( (s s) )G G( (s s) )X X0 0( (s s) )图图2-132-13)()()()()()()(00sXsXsXsXsXsXsGii )()(2sGsG1 niisGsG1)()(二、传递函数方框图的等效变换二、传递函数方框图的等效变换第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 88)()()()()()(02010sXsXsXsXsXsGii )()(21sGs
55、G niisGsG1)()(X Xi i( (s s) )G G1 1(s)(s)G G2 2(s)(s)X X0 0( (s s) )X X0202( (s s) )X X0101( (s s) )+ + +图图2-142-142环节的并联环节的并联第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 89X Xi i( (s s) )- -H(s)H(s)G(s)G(s)E(E(s s) )X X0 0( (s s) )X XB B( (s s) )（1）偏差信号：）偏差信号：)()()(txtxtbi )()()(sXsXsEBi （2）前向通道传递函数）前向通道传递函数G(s)()()(0sEs
56、XsG （3）反馈通道传递函数）反馈通道传递函数H(s)()()(0sXsXsHB 3 3反馈联接反馈联接第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 90)()()()()()()()()(00sHsGsEsXsXsXsEsXsGBBK （5）闭环传递函数）闭环传递函数 GB(s)：（4）开环传递函数）开环传递函数 GK(s)： 0XsG s E sX Xi i( (s s) )- -H(s)H(s)G(s)G(s)E(E(s s) )X X0 0( (s s) )X XB B( (s s) ) iBE sXsXs 0BXsH s Xs 0iBXsG sXsXs 01BiXsG sGsXsG
57、s H s 0iG s XsG s H s Xs 01BiXsG sGsXsG s H s对正反馈：对正反馈：第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 91对于单位反馈：对于单位反馈：H H( (s s)=1)=1G G( (s s) )X Xi i(s)(s)X X0 0( (s s) )- -+ +1 1图图2-162-16)(1)()(sGsGsGB 第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 921 1）分支点前移：）分支点前移：规则：分支路上串入相同的传递函数方块规则：分支路上串入相同的传递函数方块X XG GX X G GX X G GX XG GG GX GX GX GX G2
58、 2）分支点后移：）分支点后移：规则：分支路上串入相同传递函数的倒数的方块规则：分支路上串入相同传递函数的倒数的方块X XG GX X G GX XX XG GX GX G1 1G GX X4 4分支点移动规则分支点移动规则第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 931 1）相加点前移）相加点前移 G GX X2 2X X1 1G GXX2 2+ +- -X X1 1+ +G GX X1 1G GXX2 21 1G GX X2 2-2 2）相加点后移）相加点后移 X X1 1G GX X2 2（X X1 1XX2 2）G G+ +- -X X1 1G GX X2 2G G（X X1 1XX
59、2 2）G G+ +- -5 5相加点移动规则相加点移动规则第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 94A A+ + +A+B-CA+B-CB B+ +C C- -A A+ + +A+B-CA+B-CC C+ +B B- -图图2-252-257相加点分离规则相加点分离规则B B+ +C C- -A+B-CA+B-CA A+ +B B+ +A A+ +A+B-CA+B-C- -C C图图2-262-266相加点交换规则相加点交换规则第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 95A-BA-BA A+ +B B- -A-BA-BA A+ +B B- -ABABABABB B- -分支路上补加
60、信号分支路上补加信号-B -B 图图2-27 2-27 9分支点移动到相加点后分支点移动到相加点后A AA-BA-BA A+ +- -B BA A+ + +B B+ +A AB B- -A-BA-B分支路上补加信号分支路上补加信号+B +B 图图2-282-288分支点移动到相加点前分支点移动到相加点前第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 9610反馈方框化为单位反馈反馈方框化为单位反馈 X Xi i+ +- -H HG GX X0 0X Xi i1 1H H+ +G GH HX X0 0- -GHGGB 1GHGGHGHHG 111总总图图2-291）解除方块图中的交叉联系（结构）解除
61、方块图中的交叉联系（结构） 2）按等效规则，先环内后环外逐步使方块得到简化）按等效规则，先环内后环外逐步使方块得到简化3）求传递函数）求传递函数方块图的简化及系统传递函数的求取方块图的简化及系统传递函数的求取第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 970 0i i+ +A A+ +B BG G1 1+ +H H2 2H H1 1G G2 2G G3 3D D- - -+ +C C图图2-302-30解：解：1）相加点）相加点C前移（再相加点交换）前移（再相加点交换）i i+ +A A+ +B BG G1 1H H1 1G G2 2G G3 3D D- -0 0+ +1 1G G1 1H H
62、2 2- -+ +图图2-31 2-31 例例1 1 ：第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 982）内环简化）内环简化 3）内环简化）内环简化 i i+ +A A- -0 01 1G G1 1H H2 2- -C C+ + G G1 1G G2 2G G3 31-G1-G1 1G G2 2H H1 1图图2-32 i i+ +(E)(E)0 0- -G G1 1G G2 2G G3 31G1G1 1G G2 2H H1 1+G+G2 2G G3 3H H2 2图图2-33 第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 994）总传递函数）总传递函数 i i0 0 含有多个局部反馈的闭环系
63、统中，当满足下面条件时含有多个局部反馈的闭环系统中，当满足下面条件时 1）只有一条前向通道）只有一条前向通道 2）各局部反馈回路间存在公共的传递函数方块）各局部反馈回路间存在公共的传递函数方块 1)(每一反馈回路的开环传每一反馈回路的开环传递函数递函数前向通道的传递函数之积前向通道的传递函数之积SGB则：则：各局部反馈：正反馈各局部反馈：正反馈取取 ; 负反馈负反馈取取+1231212321231GG GGG HG G HGG G结论：结论：6第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 100由系统传递函数的方块图可知由系统传递函数的方块图可知 1只有一条前面通道：只有一条前面通道：G1G2G
64、32存在三个局部反馈回路，且两两都具有公共存在三个局部反馈回路，且两两都具有公共传传递函数方块（或公共节点）递函数方块（或公共节点）0 0i i+ +A A+ +B BG G1 1+ +H H2 2H H1 1G G2 2G G3 3D D- - -+ +C C图图2-302-30 1231212321231BGG GGsGG HG G HGG G第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 101求下图所示系统总传递函数求下图所示系统总传递函数X Xi i( (S S) ) + +G G1 1+ +H H1 1- -G G2 2X X0 0( (S S) )H H2 2G GI IG GI I
65、- -图图2-39 2-39 解：此例不能运用上述结论解：此例不能运用上述结论 两个局部反馈回路没有公共传递函数方块两个局部反馈回路没有公共传递函数方块例例2 2 ：第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 102X Xi i( (S S) )G GI IG GIIIIX X0 0( (S S) ) 22211111HGGHGGGGGIII 22112211211HGHGHGHGGG 1111HGGGI 2221HGGGI I 又：又： 第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 103干扰信号：系统中除控制信号（输入）外，其它对干扰信号：系统中除控制信号（输入）外，其它对典型的具有干扰信号
66、的系统方块图如下：典型的具有干扰信号的系统方块图如下：输出能产生影响的信号。输出能产生影响的信号。G G1 1( (s s) )X Xi i(s)(s)N N ( (s s) )- -+ + + +G G2 2( (s s) )H H ( (s s) )X X0 0(s)(s)图图2-172-172.4 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 104由线性叠加原理，闭环系统输出由线性叠加原理，闭环系统输出X X0 0( (s s) )由两部分组成由两部分组成1 1）N N(s)=0, (s)=0, X Xi i( (s s) )引起的输出引起的输出X X0101( (s s) )2 2）X Xi i( (s s)=0, )=0, N N( (s s) )引起的输出引起的输出X X0202(s)(s)()()(02010sXsXsX HGGGGsXsXsGiA2121011)()()( 1 1当当N N(s)=0, (s)=0, X Xi i(s)(s)为输入为输入第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 105HGGGGGHGsNsXs
