材料力学弯曲位移

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1、 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。加工精度，甚至会出现废品。工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题 桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大, ,则会使小车行走困难，则会使小车行走困难，出现爬坡现象。出现爬坡现象。因此在工程中，常常要对梁的变形加以控制因此在工程中，常常要对梁的变形加以控制 但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。的弹性变形，以满足特定的工作需要。 例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解例

2、如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。车辆受到的冲击和振动作用。P2P2P计算变形与位移的目的：计算变形与位移的目的：刚度校核、满足工程要求、解超静定梁。刚度校核、满足工程要求、解超静定梁。 挠曲线挠曲线挠曲线挠曲线1.梁的梁的挠曲线挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。6.1 6.1 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程 积分法求梁的位移积分法求梁的位移BAB1Fxq qq qwyx 2.梁位移的度量：梁位移的度量：挠度挠度：梁横截面形心的竖向位移：梁横截面形心的竖向位移w，向上的挠度为正，向上的挠度为正转角转

3、角：梁横截面绕中性轴转动的角度：梁横截面绕中性轴转动的角度q q，逆时针转动为正，逆时针转动为正挠曲线方程挠曲线方程：挠度作为轴线坐标的函数：挠度作为轴线坐标的函数 w=f(x) 转角方程转角方程(小变形下小变形下)：转角与挠度的关系：转角与挠度的关系)( ddtanxfxwqq图中图中q q与与w的正负？的正负？一、梁的挠曲线一、梁的挠曲线 3 3、约束对位移的影响、约束对位移的影响没有约束无法确定位移没有约束无法确定位移连续光滑曲线，铰支座对位移连续光滑曲线，铰支座对位移的限制的限制0AByy连续光滑曲线，固定端对位移连续光滑曲线，固定端对位移的限制的限制0,0BByqPC光滑连续条件：光

4、滑连续条件：ccqqccyy二、挠曲线近似微分方程二、挠曲线近似微分方程EIxMx)()(11.力学关系力学关系：2.几何关系几何关系：2321)(1wwx 3.挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程：EIxMw)( yxMM00 wM，00 wM，yxMMw 略去高阶微分)(xMwEI 三、积分法求梁的挠曲线三、积分法求梁的挠曲线 转角方程；积分一次qEICdxxMEIw1)(2.支承条件与连续条件支承条件与连续条件: )(xMwEI 1.式中式中C1、C2为积分常数，由梁边界、连续条件确定。为积分常数，由梁边界、连续条件确定。 1) 支承条件：支承条件： 2) 连续条件：连续条件：挠曲线是光

5、滑连续唯一的挠曲线是光滑连续唯一的CxCxCxCxww|qq，y0wy0wy0; 0wwl lylwFABC挠曲线方程。再积分一次 21)(CxCdxdxxMEIwq qmaxfmax213212622)()(CxCFxFLxEIwCFxFlxEIwxlFxMEIw次：列挠曲线方程并积分两00|00| 2010CwCwxx，得：；，得：数：由边界条件决定积分常)3(6)2(22xlEIFxwxlEIFxwq为：转角和挠曲线方程分别EIFLwfEIFLBB323max2maxqq解：建立坐标系如图解：建立坐标系如图x处弯矩方程为：处弯矩方程为： 例例1 图示图示B端作用集中力端作用集中力P的悬臂

6、梁，求其挠曲线方程。的悬臂梁，求其挠曲线方程。 yxFBAlx)()(xlFxM例例2 求图示梁受集中力求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。作用时的挠曲线方程。 FabClABxFAFB解：解： 1、求支反力、求支反力lFaFlFbFBA；xlFbEIw 122ClFbxEIw)0(axAC段)(lxaCB段xlFbaxFEIw)(2222)(2ClFbxaxFEIw1136DxClFbxEIw22336)(6DxClFbxaxFEIw)(60; 000;2221212121bllFbCCwlxDDwxDDwwCCwwax，得处，得处，则，则时，)3(6222xblEIlFbw)(31)(2

7、2222blxaxblEIlFw)(6222xblEIlFbxw)()(62233xblxaxblEIlFw)0(axAC段)(lxaCB段 在材料服从胡克定律、且变形很小的前在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。用下的变

8、形，然后叠加。 6.2 6.2 叠加法求梁的位移叠加法求梁的位移例：例：用叠加法求用叠加法求CABfqq、Cw解：解：Cf53844qlEIPlEI348mlEI216qAqlEI324PlEI216mlEI3qBqlEI324PlEI216将梁上的各载荷分别引起的位移叠加将梁上的各载荷分别引起的位移叠加 （ ）（ ） （ ） EIml6Cw 几个荷载共同作用下梁任意横截面上的位移，等几个荷载共同作用下梁任意横截面上的位移，等于每个荷载单独作用时该截面的位移的叠加。于每个荷载单独作用时该截面的位移的叠加。 逐段刚化法：逐段刚化法：变形后：变形后：AB AB BC BC变形后变形后ABAB部部分

9、为曲线，分为曲线，但但BCBC部分仍部分仍为直线。为直线。C点的位移为：点的位移为：w wc c2LwwwwBBcBcq例：例：求外伸梁求外伸梁C C点的位移。点的位移。LaCABP解：解：将梁各部分分别将梁各部分分别引起的位移叠加引起的位移叠加ABCP刚化EI=PCwC11、BC部分引起的位移部分引起的位移wc1、c1c1313cpawEI EIpac221q2、AB部分引起的位移部分引起的位移wC2、 C2CABP刚化EI=wC2B2PPaB223BPaLEIq LaEIPawwwCCC3221)23(621LaEIpaCCCqqqaEIPaLafBc322q2CwaEIPaL3例例 如图

10、所示悬臂梁，其抗弯刚度如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EIEI为常数，求为常数，求B点转角点转角和挠度。和挠度。FBA2/ l2/ lqCwBqwCqq qBFwBPFBABAqC1.在在F作用下：作用下：EIFlwEIFlBFBF3,232q查表：2.在在q作用下：作用下：EIqlEIlqwEIqlEIlqCqCq1288)2/(486)2/(4433q查表：EIqllwwEIqlCqCqBqCqBq384724843qqqBqBFBBqBFBwwwqqq3.在在F和和q共同作用下：共同作用下：例例; ;试用叠加法求图试用叠加法求图(a)(a)所示梁跨中截面所示梁跨中截面(B(B截面截面) )的挠

11、度。的挠度。解解:表中没有要求的挠度公式，但仍可利用表中的有关公式。表中没有要求的挠度公式，但仍可利用表中的有关公式。 比较图比较图(a),(b),(c)三者跨中的挠度值。显然，图三者跨中的挠度值。显然，图(a)和图和图(b)跨中的挠度值跨中的挠度值相等，而图相等，而图(a)和图和图(b)两种情况相叠加就是图两种情况相叠加就是图(c)之情况，因而有之情况，因而有由图(c)查得wB，为所以图(a)所示梁跨中挠度值为例例; ;试用叠加法求图试用叠加法求图(a)(a)所示梁跨中截面所示梁跨中截面(B(B截面截面) )的挠度。的挠度。与上题类似，图与上题类似，图 ( a）所示梁跨中的挠度亦为）所示梁跨