材料力学-6-弯曲刚度

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1、Nanjing University of Technology材料力学材料力学 (6)材料力学第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度限 制 弯 曲 变 形限 制 弯 曲 变 形（刚度问题）（刚度问题）工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题 第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度 机械传动机构中的齿轮机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时轴，当变形过大时( (图中虚图中虚线所示线所示) )，两齿轮的啮合处，两齿轮的啮合处也将产生较大的变形。也将产生较大的变形。加大齿轮磨损，产生很大的噪声加大齿轮磨损，产生很大的噪声限制弯曲变形（刚度问题）限制弯曲变形（刚度问题）影响两个齿轮之间的啮合影响两个齿轮之间的啮合第第6章

2、章 弯曲刚度弯曲刚度 各种车辆中用各种车辆中用于减振的板簧，都于减振的板簧，都是采用厚度不大的是采用厚度不大的板条叠合而成。板条叠合而成。 可以承受很大的力而不发生破坏可以承受很大的力而不发生破坏能承受较大的弹性变形，吸收车辆受到振动和能承受较大的弹性变形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，收到抗振和抗冲击的效果。冲击时产生的动能，收到抗振和抗冲击的效果。 利用弯曲变形（刚度问题）利用弯曲变形（刚度问题）第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度求解静不定问题求解静不定问题第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度ABF1/2L1/2L(+)(+)FL321FL5129FL5129建立补充方程建立补充方程利用弯曲变形（

3、求解静不定问题）利用弯曲变形（求解静不定问题） 6.1 6.1 梁的变形与位移梁的变形与位移 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 6.5 6.5 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施 6.4 6.4 梁的刚度问题梁的刚度问题 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 6.1 6.1 梁的变形与位移梁的变形与位移 第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度B x wA取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴轴（向右为正）（向右为正）

4、，横截面的铅垂对称轴为，横截面的铅垂对称轴为 w 轴（向下为轴（向下为正）正） ， x w 平面为平面为纵向对称面纵向对称面。度量梁变形度量梁变形后横截面位置改后横截面位置改变，即变，即位移位移，有，有三个基本量。三个基本量。 6.1 6.1 梁的变形与位移梁的变形与位移 1. 基本概念基本概念 BAB x w转角转角 B挠度挠度wCC挠度挠度deflection（ ）：横截面形心横截面形心 C C （即轴线上的点）（即轴线上的点）的铅垂位移。的铅垂位移。转角转角slope（ ）：变形后的横截面相对于变形前位置绕中变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度。性轴转过的角度。 6.1 6.

5、1 梁的变形与位移梁的变形与位移 AB x w转角转角 B挠度挠度w CC轴向位移轴向位移（ u ）：横截面形心沿水平方向的位移。横截面形心沿水平方向的位移。 在小变形情形下，上述位移中，轴向位移在小变形情形下，上述位移中，轴向位移u与挠与挠度度w相比为高阶小量，故通常不予考虑。相比为高阶小量，故通常不予考虑。 6.1 6.1 梁的变形与位移梁的变形与位移 xwwddtan挠曲线挠曲线 ：梁变形后的轴线。梁变形后的轴线。)(xww 挠曲线挠曲线AB x w转角转角 B挠度挠度wCC注意：注意：当变形保持当变形保持在弹性范围内在弹性范围内，挠曲线为，挠曲线为连续光滑曲线。连续光滑曲线。挠度方程挠

6、度方程：)(x转角方程转角方程：2. 挠度与转角的关系挠度与转角的关系 6.1 6.1 梁的变形与位移梁的变形与位移 在在小变形条件小变形条件下，挠度曲下，挠度曲线较为平坦。线较为平坦。即即 很小，因而上式中很小，因而上式中tan。于是有于是有 挠曲线挠曲线AB x w转角转角 Bw 挠度挠度CCxwwddtanxwwdd挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系 6.1 6.1 梁的变形与位移梁的变形与位移 挠度和转角符号的规定挠度和转角符号的规定挠度：挠度：向下为正，向上为负。向下为正，向上为负。转角：转角：顺时针转为正，逆时针转为负。顺时针转为正，逆时针转为负。 挠曲线挠曲线AB x w转

7、角转角 Bw 挠度挠度CC 6.1 6.1 梁的变形与位移梁的变形与位移 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度力学中的曲率公式力学中的曲率公式数学中的曲率公式数学中的曲率公式EIM1 23222dd1dd1xwxwx1. 小挠度微分方程小挠度微分方程 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 纯弯曲时纯弯曲时曲率曲率与弯矩的关系为与弯矩的关系为横力弯曲时横力弯曲时, M 和和 都是都是x的函数的函数 。细长。细长梁可以略去剪力对梁的位移的影响梁可以略去剪力对梁的位移的影响, 则则 EIxMx1AA中性层曲

8、率中心中性层曲率中心OO变形后变形后zd xyxd - yy 小挠度情形下小挠度情形下 对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取向有关。坐标的取向有关。 EIxMxwxw23222dd1dd1dd22xw EIxMxw22dd 本书规定的坐标系为：本书规定的坐标系为： x 轴水平向右为正轴水平向右为正, w 轴竖直轴竖直向下为正。向下为正。 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 MMoxwoxwMM因此因此, M 与与 w 的正负号正好相反，所以的正负号正好相反，所以EIMxw22dd0dd, 022xw

9、M0dd, 022xwMEIxMdxwd)(22（小挠度微分方程）（小挠度微分方程） 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 近似原因：近似原因：（1） 略去了剪力的影响；（略去了剪力的影响；（2）小挠度略去了）小挠度略去了w 2 项。项。 对于对于等截面梁等截面梁，弯曲刚度为常量弯曲刚度为常量时时 dddlM xwxCxEI EIxMdxwd)(222. 小挠度微分方程的积分小挠度微分方程的积分积分一次：积分一次：（转角方程）（转角方程）积分二次：积分二次：DCxdxdxEIxMw)(（挠度方程）（挠度方程）式中式中C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。为积分常

10、数，由梁的约束条件决定。 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 在固定端处：在固定端处：xwAB梁的边界条件梁的边界条件在固定铰支座和滚动铰支座处：在固定铰支座和滚动铰支座处：xABlw0, 0, 0wwxAA; 0, 0Awx. 0,Bwlx3. 小挠度微分方程积分常数的确定小挠度微分方程积分常数的确定梁的约束条件（边界条件和连续性条件）梁的约束条件（边界条件和连续性条件） 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 PABC梁的梁的连续性条件连续性条件CCCCwwABlaCMCCww在集中力作用处：在集中力作用处：在中间铰处：在中间

11、铰处： 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 写出下图的边界条件、连续性条件：写出下图的边界条件、连续性条件：0, 0AwxCCax，CCwwax，0,Bwlx0, 0AwxCCax，CCwwax，BDBlwlx ,EAhFByAlFCabBEAhDAlFCabB练习练习 由由M的方向的方向确定轴线的确定轴线的凹凸性凹凸性。 由由约束性质约束性质及及连续光滑性连续光滑性确定挠度曲线的确定挠度曲线的大致大致形状及位置形状及位置。4. 梁的连续光滑挠曲线的绘制梁的连续光滑挠曲线的绘制 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 试根据连续光