西南科技大学-材料力学64-6
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1、第六章第六章 弯曲变形弯曲变形绵阳绵阳“第一楼第一楼”新益大厦新益大厦Fq qCCxw挠度挠度 w w 横截面形心在垂直轴线方向的线位移。横截面形心在垂直轴线方向的线位移。转角转角 横截面绕中性轴转过的角度。横截面绕中性轴转过的角度。一、挠度和转角一、挠度和转角由于小变形，横截面形心的轴向位移由于小变形，横截面形心的轴向位移x忽略不计。忽略不计。wx6-16-1 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程FxwCq qC二、挠曲线二、挠曲线挠曲线方程：挠曲线方程：( )wf x挠度和转角关系为：挠度和转角关系为： tandwfxdxq由于小变形，横截面形心的轴向位移忽略不计。由于小变形，横截面形心的轴向
2、位移忽略不计。 tandwfxdxw三、挠曲线的近似微分方程三、挠曲线的近似微分方程推导纯弯曲正应力公式时，推导纯弯曲正应力公式时，得到：得到：z zEIEIM M1 1对横力弯曲，忽略剪力对变形的影响对横力弯曲，忽略剪力对变形的影响zEIxMx)()(1 1.1.忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响由数学知识可知：由数学知识可知：222 311 () d wdxdwdx 略去高阶小量，得略去高阶小量，得221d wdx 所以所以22( )zd wM xdxEI2. 2. 曲率计算的近似曲率计算的近似 由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶
3、导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：程为：22( )zd wM xdxEI 由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。和挠度。6-2 6-2 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形挠曲线的近似微分方程为：挠曲线的近似微分方程为：22( )zd wM xdxEI积分一次得转角方程为：积分一次得转角方程为：( )zzdwEIEIM x dxCdxq22( )zd wEIM xdx再积分一次得挠度方程为：再积分一次得挠度方程为：( )zEI wM x dxdxCxD 积分常数积分常数C C、D D 由梁的位
4、移边界条件和光由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。滑连续条件确定。AAAAAAAAAAAAAAAAAA0Aw 0Aw 0AqAw 位移边界条件位移边界条件 弹簧变形弹簧变形CCww左右CCqq左右v积分法解题步骤积分法解题步骤1. 用整体平衡条件用整体平衡条件求出求出梁的梁的支座反力支座反力；2. 用截面法求出梁的用截面法求出梁的弯矩方程弯矩方程；3. 对挠曲线近似微分方程对挠曲线近似微分方程积分两次积分两次；4. 利用边界等条件利用边界等条件确定积分常数确定积分常数；5. 确定确定转角方程和挠度方程转角方程和挠度方程；6. 求出求出指定截面指定截面的挠度和转角。的挠度和转角。例例6-1 6
5、-1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的和最大挠度，梁的EIEI已知。已知。解解1 1）由梁的整体平衡分析可得：）由梁的整体平衡分析可得：0,AxF( ),AyFF()AMFl2 2）写出）写出x x截面的弯矩方程截面的弯矩方程( )()()M xF lxF xl 3 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分22( )()d wEIM xF xldx21()2dwEIEIF xlCdxq31()6EIwF xlCxD积分一次积分一次再积分一次再积分一次BqA AB BxwxlF FBw4 4）由位移边界条件确定积分常数
6、）由位移边界条件确定积分常数0,0Axw0,0Axq2311,26CFlDFl 代入求解代入求解5 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程6 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度2211()22EIF xlFlq323111()626EIwF xlFl xFl23maxmax,23BBFlFlxlwwEIEIqqBqA AB BxwxlF FBw例例6-2 6-2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的和最大挠度，梁的EIEI已知，已知，l=a+b，ab。解解1 1）由梁整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得：0,A
7、xAyByFbFaFFFll2 2）弯矩方程）弯矩方程 1,0AyFbMxF xxxalAC AC 段：段： 2()(),AyFbMxF xF xaxF xaaxllCB CB 段：段：maxwabxxACDFxAyFByFAqBqwB3 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分2112( )d wFbEIMxxdxl211( )2dwFbEIEIxxCdxlq31116FbEIwxC xDlAC AC 段：段：0 xa2222( )()d wFbEIMxxF xadxl2222( )()22dwFbFEIEIxxxaCdxlq33222()66FbFEIwxxaC xDlC
8、B CB 段：段：axlmaxwabxxACDFxAyFByFAqBqwB4 4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数2,( )0 xlw l10,(0)0 xw代入求解，得代入求解，得位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件12,( )( )xaaaqq12,( )( )xaw aw a312166FbCCFbll 120DDmaxwabxxACDFxAyFByFAqBqwB5 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程2221()26FbFbEIxlbllq3221()66FbFbEIwxlbxllAC AC 段：段：0 xa22222()()226FbFFbEI
9、xxalbllq33222()()666FbFFbEIwxxalbxllCB CB 段：段：axlmaxwabxxACDFxAyFByFAqBqwB6 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度令令 得，得，0ddxqmax,()()6BFabxlEIll aqq令令 得，得，0dwdx22322max(),()39 3DFblblbxwwEIl maxwabxxACDFxAyFByFAqBqwBv例例6-3 变截面悬臂梁受力如图，用变截面悬臂梁受力如图，用直接积直接积分法分法求自由端处的挠度和转角。求自由端处的挠度和转角。l/2l/2BFI2IACwx例例6-3 计算自由端的挠度和转
10、角。计算自由端的挠度和转角。解解1 1）弯矩方程）弯矩方程 1, 02lMxFxx AC AC 段：段： 2,2lMxFxxl CB CB 段：段：2 2）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分2112( )d wEIMxFxdx 21112dwFEIEIxCdxq 31116FEIwxC xD AC AC 段：段：02lxCB CB 段：段：2lxl22222( )d wEIMxFxdx 2222222dwFEIEIxCdxq 322226FEIwxC xD l/2l/2BFI2IACwx解解3 3）边界条件）边界条件2,0 xlwl/2l/2BFI2IACwx2,0q12,
