第二章 导数与微分

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1、第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念第二第二节导数公式与运算法则节导数公式与运算法则第三第三节函数的微分节函数的微分第一节导数的概念第一节导数的概念导数是微分学中的基本概念导数是微分学中的基本概念反映了函数相对于自变量的变化率反映了函数相对于自变量的变化率一、导数的定义一、导数的定义1、案例引入、案例引入 案例一 变速直线运动的瞬时速度 在物理学中当物体做匀速直线运动时，它的任何时刻的速度为 但在实际问题中，运动往往是非匀速的，因此，上述公式反映的只能是物体在某段时间内的平均速度，二不能反映物体在每一时刻的速度，即瞬时速度 设一物体作变速直线运动，对于每一个时刻

2、 ， s与 之间存在函数关系 ，我们来考察该物体在 时刻的瞬时速度0ttt( )ss t 当时间由 变到 时，物体经过的路程为 ，于是物体在 到 这段时间的平均速度为0t0tt 00()( )ss tts t 0t0tt 当 时的平均速度的极限值就是 时刻的瞬时速度0t 0t案例案例2 产品总成本的变化率 奥运会前夕，某服装厂生产印有福娃图案的T恤衫总成本C 是产量Q 的函数，当产量由 变到 时，总成本相应的改变量为0Q0QQ00()()CC QQC Q则，产量由 变到 时，总成本的平均变化率为0Q0QQ00()()C QQC QCQQ当 时，如果极限0Q0000()()limlimQQC Q

3、QC QCQQ 存在，则称此极限是产量为 时总成本的变化率，又称边际成本.2、概念阐述、概念阐述定义定义2.1 设函数 在点 的某领域内有定义，若极限存在，则称函数 在点 可导，并称该极限值为函数 在 处的导数，记作 ，也可记作 ，即 ( )yf x0 x000( )()limxxf xf xxx( )yf x0 x( )yf x0 x0()fx0()fx000( )()limxxf xf xxx 所以，导数是函数增量 与自变量增量 之比的极限，这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称为差商），而导数 则是在 处关于x的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度若令 ，则 ，上

4、式可写为0 xxx00()()yf xxf x 00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx yx0()fx0 x若极限不存在，则称函数在点 不可导.0 x导函数导函数定义定义2.2 如果函数 在开区间 内的每一点处都可导，就称函数 在开区间 内可导。这时，对开区间内每一个确定的值 都有对应的一个确定的导数值 ，这样就在开区间 内构成了一个新的函数，我们把这一新的函数称为 的导函数。在不混淆的情况下，导函数也简称为导数，记作 ， ， 或 即 ( )yf x( )yf x( )f x, a b, a b0 x0()fx, a b( )fxydydx( )df xdx0()( )

5、( )limxf xxf xfxx 单侧导数单侧导数定义定义2.3 设函数 在点 的某领域内有定义，若极限 或写成存在，则称该极限值为函数 在点 处的右导数，记作 .( )yf x0 x000( )()limxxf xf xxx( )f x0 x0()fx0000()()limlimxxf xxf xyxx 类似的， 或写成的值称为函数 在点 处右导数.000( )()limxxf xf xxx0000()()limlimxxf xxf xyxx ( )f x0 x定理定理2.1 间间3.方法展示方法展示用定义求函数导数的步骤（1）求增量（2）求比值（3）取极限00()()yf xxf x 0

6、0()()f xxf xyxx0limxyyx 4.应用举例应用举例例例2.1（1）求增量（2）求比值（3）取极限00()()0yf xxf xCC 00yxx0lim0 xyyx 解例例2.2 求函数 的导数.2yx（1）求增量（2）求比值（3）取极限222()2()yxxxx xx 22()2yx xxxxxx 00limlim(2)2xxyyxxxx 解即即 ( )0C即即 2()2xx一般地一般地1()xx（ 为任意实数）例例2.3 求函数 的导数 解000loglog ()loglimlimlimaaaxxxxxxxxyxyxxx 1001limloglim log ()xaaxxx

7、xxxxxx 1100lim log (1)lim log (1)xxxxaaxxxxxx 1101loglim(1)loglogxxxxaaaxxeexx 即即1lnxa1(log)lnaxxa1(ln )xxlog(0,1)ayx aa例例2.4 求函数 的导数解00sin()sinlimlimxxyxxxyxx 02cos()sin22limxxxxx 00sin2lim cos() lim22xxxxxx cosx(sin )cosxx即即sinyx例例2.6 讨论函数 在 处的导数解211( )(1)3(1)limlim11xxf xfxfxx 11( )(1)21 3(1)liml

8、im211xxf xfxfxx (1)(1)ff2,13,121,1xxyxxx1x 所以函数在 不导数1x 二、导数的几何意义二、导数的几何意义1.割线的极限位置-切线位置()Mfx2.导数的几何意义导数的几何意义过点过点M的的3.应用举例应用举例例例2.7 求曲线 在点 处的切线方程和法线方程3yx2,8解22(2)312xkfx所以，所求切线方程812(2)yx12160 xy即所求法线方程18(2)12yx 12980 xy即三、可导与连续三、可导与连续1.案例引入案例引入 观察下图xy00 xx00 x在 点不连续不可导0 x0 x在 点连续不可导2.方法展示方法展示定理定理2.2

9、如果函数 在点 处可导，则函数 在点 处一定连续.( )yf x( )yf x0 x0 x证明设函数 在点 处可导，则有( )yf x0 x00lim()xyfxx 0000limlim() lim0 xxxyyxfxxx 所以函数 在点 处连续( )yf x0 x3.应用举例应用举例例例2.8 证明函数 在 处连续，但不可导.,0,0 x xyxx x0 x 证明00limlim0 xxyx00 xy所以函数在 处连续.0 x 但是00( )(0)0(0)limlim100 xxf xfxfxx00( )(0)0(0)limlim100 xxf xfxfxx 所以函数在 处不可导.0 x 作

10、业： P39 3第二节第二节 导数公式与运算法则导数公式与运算法则一、导数基本公式与运算法则一、导数基本公式与运算法则1.方法展示方法展示 ;0)( C（C为任意常数）1()(xx为任意常数）);1, 0(ln)( aaaaxx;)(xxee 1101(log)log(,)lnxeaaaaxxa1(ln )xx;cos)(sinxx ;sin)(cosxx ;sec)(tan2xx P41全部;11)(arcsin2xx ;11)(arccos2xx ;tansec)(secxxx ;csc)(cot2xx ;cotcsc)(cscxxx ;11)(arctan2xx ;11)cotarc(2

11、xx - 23 -函数函数的和、差、积、商的和、差、积、商的求导的求导法则法则定理定理2.3(1)()() )()(xvxuxvxu (2)()()()() )()(xvxuxvxuxvxu 特别特别)()() )(为常数为常数kxukxku (3)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu )0)( xv特别特别)()()(1(2xvxvxv )0)( xv且且并并处也可导处也可导在点在点分母不为零分母不为零的和、差、积、商的和、差、积、商则它们则它们处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu- 24 -推论推论; )( )()1(11 niiniixu

12、xunnnnuuuuuuuuuuuu 21212121)2(设设处处可可导导，则则在在xxuxuxun)(,),(),(21例例2.9 2.9 求函数 的导数解解例例2.10解解323529yxxx323529()()()( )yxxx29102xx求函数 的导数42132yxxxex321462yxxx例例2.11 2.11 求函数 的导数例例2.12 2.12 设函数 ，求3 (ln )(3cos )(5)yxxx解解解解4( )23sinln33f xxx3ln3cos5yxxx213sin15xxx(2)f4( )(23sinln3)3fxxx383x2(2)( )|61xffx例例2

13、.15 2.15 求函数 的导数3sinlnyxxx3 3() sinln(sin ) lnsin(ln )yxxxxxxxxx解解2323sinlncoslnsinxxxxxxxx善于灵活运用导数的四则运算法则善于灵活运用导数的四则运算法则例例2.16 2.16 求函数 的导数3227xxxyx例例2.17 2.17 求函数 的导数32227721xxxyxxxx 解解2722xx22sincos3sin cosxxxxyexx3(tan )(cot )xyexx22(3 ) ln3seccscxeexx二、复合函数的导数二、复合函数的导数1.案例引入案例引入案例 求函数 的导数sin2yx

14、（1）(sin2 )cos2yxx（2） (sin2 )(2sin cos )yxxx222cos2sinxx第1种做法只是对中间变量求导，但要求是对自变量求导2.方法展示方法展示定理定理2.4 设函数 由 和 复合而成，如果函数 在点 处可导，而函数 在对应的点 处可导，那么复合函数 也在点 处可导，且有 yfx yf u( )ux( )uxx yf uux yfxdydy dudxdu dx也可写成,xuxyyu或 xyfux- 29 -以上以上法则可以推广到多个函数的复合中去法则可以推广到多个函数的复合中去, ,例如例如则则复复合合函函数数设设),(),(),(xvvuufy 的导数为的

15、导数为)(xfy dxdy或xy dvdu dudy .dxdv )(uf )(v )(x 3.应用举例应用举例例例2.18 2.18 求函数 的导数. 425yx解解设4,yu25ux33428 25dydy duuxdxdu dx则例例2.21 2.21 求函数 的导数. 2lnsinyx解解设2ln ,sinyu uv vx212sincos2cotsinxxxx则12cosdydy du dvvxdxdu dv dxu熟练之后不必写出中间变量例例2.22 2.22 求幂函数 的导数. lnxyxe解 因为 yx所以 lnln1xxyeexxxx例例2.22 2.22 求函数 的导数.

16、22yax解22222212yaxaxax2222122xxaxax 例例2.23 2.23 求函数 的导数. 2ln1yxx.)(形形式式称称为为显显函函数数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题: :隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导? ?隐函数求导法则隐函数求导法则, 0),( yxF所确定，那么这种函数就叫做由方程确定的隐函数.（1）视方程0),( yxF中的y为x的函数),(xyy 求导法则在方程两边对 求导.利用复合函数的三、隐函数的导数三、隐函数的导数一般地，如果变量 之间的函数关系由方程, x y1.概念阐述概念阐述2

17、.方法展示方法展示x注注：隐函数导数往往是一个含有 的表达式，有时 解不出，结果中可以含有, x yyy（3）最后解出 y（2） 对含有 的方程进行简化整理y 取对数求导法：取对数求导法： 对于幂指函数 和连乘及乘方、开方等类型的函数利用两边取对数转化为隐函数求导将非常快捷、准确.例2.25 求由方程 所确定的隐函数 的导数 4.应用举例应用举例2225xyyy解两边同时对求导，得x220,xy y.xyy 例2.26 求由方程 所确定的隐函数 的导数 . 0yxexyeyy解两边同时对求导，得x0yxeyyxyexyyeyex例2.27 利用对数求导法求函数 的导数. sinxyx解将两边同

18、时取自然对数，得lnsinlnyxx11coslnsinyxxxyx两边同时对 求导，得ysinsincoslnxxyxxxx例2.28 利用对数求导法求函数 的导数. 2313234xxyxx解 将两边同时取自然对数，得11ln2ln13ln 32ln3ln422yxxxx两边同时对 求导，得y29111322324yyxxxx 231322911132232434xxyxxxxxx四、高阶导数（略）四、高阶导数（略）第三节第三节 函数的微分函数的微分 一、微分的概念一、微分的概念案例案例2 函数的改变量函数的改变量 一块正方形金属薄片（厚度不计），由于温度的变化，其边长由 变化到 ，问其面

19、积改变了多少0 xx0 xx0 x变化前面积：20Ax当边长由 变化到 ，面积的改变量为0 xx0 x220020A()2(xxxxxx第一部分为 ，是 的线性函数，在图中可用阴影部分表示。02xxx第二部分是 ，可用图中右上角的小正方形面积表示，是 的高阶无穷小 ，当 时，此部分可忽略不计，此时可以认为2xx0 x 0A2xx2.概念阐述概念阐述定理2.5 设函数 在点 的某领域内有定义，当给 一个增量 ， 也在这个领域内，相应地得到函数的增量为 如果存在常数A ，使得 能表示成 则称函数 在点 处可微，并称 是函数在点 处的微分，记为 或 即( )yf x0 x0 xx0 xx 00,yf

20、xxfx yA,yxx ( )yf x0 xA x0 x0|xxdy 0|,xxdfx 0|Axxdfxx 0|Axxdyx 或 函数的微分与增量仅相差一个 的高阶无穷小，当 时，可以用微分 作为 的近似值.x0 xdyy可可微与可导的关系微与可导的关系（1）如果函数 在点 处可微，则有( )yf x0 xAAxyyxxxx 00limAxyfxx （2）如果函数 在点 处可导，有( )yf x0 x000lim()xyyfxfxxx （ 是当 时的高阶无穷小）0 x 0yfxxx 00|xxdyfxx3.方法展示方法展示定理定理2.5 函数 在点 处可微 ( )yf x0 x函数 在点 处可

21、导( )yf x0 x注：注：由于自变量的微分 ，所以函数在点 处的微分常记为dxx xx 0 x00dy|dx xfxx可可微函数微函数 定义定义2.6 如果函数在某区间内每一点处都可微，则称函数在该区间内是可微函数 .函数在区间内任一点处的微分为 dydfxx 由上式可得 ，即为导数记号的由来，所以导数也称微商. d=dyxfx微分的几何意义微分的几何意义Qyx0fxxx00,yfxxfx QNy 如图P而 0QfxxP所以，函数( )yf x在点 的微分 在几何上表示函数图像在点 处切线的纵坐标的改变量.0 xdy00(,)M xy4.应用举例应用举例例例2.33 求函数 在 处的微分.

22、 2yx4x 解 4|42 48xdyfdxdxdx例例2.34 求函数 的微分. 2lnyxx解 因为212ln2lnyxxxxxxx2lndyxxx dx所以二、微分基本公式和运算法则二、微分基本公式和运算法则1.方法展示方法展示微分基本公式微分基本公式;0)( C（C为任意常数）1()(xx为任意常数）);1, 0(ln)( aaaaxx;)(xxee 1101(log)log(,)lnxeaaaaxxa1(ln )xx;cos)(sinxx ;sin)(cosxx ;sec)(tan2xx ;csc)(cot2xx ;tansec)(secxxx ;cotcsc)(cscxxx ;11

23、)(arcsin2xx ;11)(arccos2xx ;11)(arctan2xx ;11)cotarc(2xx 微分的四则运算法则微分的四则运算法则 1 ddd;u xv xu xv x 2 ddd;u xv xv xu xu xv x 2dd3 d0 ;u xv xu xu xv xv xv xvx复合函数复合函数的的微分法微分法则则 yf u设 ， ，则复合函数 ( )ux yfx的微分为 ddddxyyxfuxxfuu 无论 是自变量还是中间变量， 的微分都有.这个性质叫做一阶微分形式的不变性.uu dfuu2.应用举例应用举例例例2.35 求函数 的微分. 212yxxx解22111

24、dd22dyxxxxxxx例例2.37 求函数 的微分. 解222dd1arctan1d arctanarctan d 1yxxxxxx21arctanyxx2212arctan dd2arctan1 d1xxx xxxxxx例例2.38 求由方程 所确定的隐函数的微分. 2324xxyya解 两边同时对 取微分x2830 xdxxdyydxy dy23d8dyxyxyx28dd3xyyxyx所以三、微分在经济中的作用三、微分在经济中的作用1.求函数增量的近似值2.求函 在 附近的近似值0ddyyfxx yf x000+f xxf xfxx0 x(0)x例例2.39 求 的近似值. 38.02

25、解 可看做函数 在 处的函数值.利用近似公式 ，得38.023yx80.02x 000+f xxf xfxx 8.028 +8fffx238120.023xx120.022.001712例例2.40 一个外直径为10厘米的球，球壳的厚度 试求球壳体积的近似值. 1cm16解 此题可看做函数 当自变量 处有增量 343Vf rr5r 116r V VdVfr dr时，求函数的增量224134519.63316rdr 所以，球壳体积的近似值为19.633cm例例2.41 某工厂每周生产 件产品，能获利 元，且 ，当每周产量由10件增加到12件时，求获利增加的近似值.xy26 100yxx解 产量 由10件增加到12件，利润 增加为xyyd10 d16yyfx 26 10022 100 xfxxx所以，当每周产量由10件增加到12件时，获利增加约16元.